Número π

Bueno, bueno … hoy vamos a hablar de PI. Más que un número (que lo es, ahora explicaremos de qué tipo) es toda una filosofía. Muchos matemáticos han dedicado su vida profesional a investigar esta misteriosa cifra.

Pero hablemos de PI. ¿Qué es PI? Como todo el mundo sabe, π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diamétro, en geometría euclidiana (es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional … de momento con esto nos vale) Es un número irracional (que es cualquier número real que no es racional, es decir un número que no puede ser expresado mediante la fracción $\frac{m}{n}$ , donde ambos son enteros (n diferente de cero) y donde esta fracción es irreducible. O sea, un número real con infinitos decimales y sin ningún patrón por repetición (periódicos puros o mixtos) Como referencias de números irracionales, los tres más famosos son:

π (Número “pi” 3,1415 …): razón entre la longitud de una circunferia y su diamétro.
e (Número “e – euler” 2,7182 …):
$\lim _{n \to +\infty} \left( 1 + \frac {1}{n}\right) ^{n}$
Φ (Número “áureo” 1,6180 …): $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
Pero volvamos a PI, otro día hablaremos del número de euler (o constante de napier) & número áureo.

El valor numérico de PI, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

$\pi \approx 3{,}14159265358979323846...$

Deciros que he calculado con mi ordenador y siguiendo el método Chudnovsky los prímeros 10.000.000 (diez millones) de dígitos de PI. Lo tendréis al pie de este artículo. La cifra más alta de dígitos que se puede calcular es de 24 BILLONES, pero se necesitaría un disco duro de 58 TERABYTES para guardarlo, así que imaginaros el tiempo que tardaría en subirlo al servidor 🙂

El valor de PI se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.

A continuación la distribución de los primeros 3.422, 13.689 y 123.201 dígitos de π:

Increble, ¿verdad? Volvamos al análisis de PI. La notación de la letra griega π (decimosexta letra del alfabeto griego) proviene de la inicial de las palabras de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de un círculo, notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574 -1660) y propuesto su uso por el matemático galés William Jones (1675 – 1749), aunque fue el matemático Leonhard Euler,
con su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no confundir con el número de Arquímedes, número adimensional de la siguiente forma)

${\rm Ar} = \frac{g L^3 \rho_\ell (\rho - \rho_\ell)}{\mu^2}$

En cuanto a la historia de PI, podemos hablar de varias aproximaciones que van desde la antigua cultura egipcia a la persa del siglo XV. En el siguiente cuadro podemos comprobar estas aproximaciones:

En cuanto a la época moderna, desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posible. Para que os hagáis una idea de lo costoso que es calcular estas inmensidades de cifras, si juntásemos 640 computadoras de alto rendimiento (estándares actuales), que juntas consiguieran velocidades de procesamiento de 96 TERAFLOPS (10¹²) flops (acrónimo inglés que significa floating point operations per second) obtendríamos dos billones y medio de decimales en 73 horas y 36 minutos. Imaginar pues lo que sería conseguir 10 veces más, esos 24 billones de decimales a los que he hecho referencia al principio del artículo. A continuación podréis ver un cuadro resumen con estos datos:

Bueno, sigamos … En cuanto a las definiciones de PI Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante. No obstante, existen diversas definiciones del número π, pero las más común es la que ya hemos dado, es decir:

PI es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diamétro.

Por tanto, también π es:

El área de un círculo unitario (de radio unidad del plano euclídeo).
El menor número real x positivo tal que sen(x) = 0.

También es posible definir analíticamente π; dos definiciones son posibles:

La ecuación sobre los números complejos e^ix + 1 = 0 admite una infinidad de soluciones reales positivas, la más pequeña de las cuales es precisamente π.
La ecuación diferencial S”(x) + S(x) = 0 con las condiciones de contorno S(0) = 0,S‘(0) = 1 para la que existe solución única, garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf, es una función analítica cuya raiz positiva más pequeña es precisamente π.

Como ya hemos dicho anteriormente, se trata de un número irracional (demostrado por Johann Heinrich Lambert en 1761) y trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. Este hecho fue demostrado por el matemático alemán Ferdinand Lindemann, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.

En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse, la mayoría de las veces, con una precisión de sólo una docena de decimales. Con cincuenta decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con un error más pequeño que el tamaño de un protón.

Exinten diversidad de ecuaciones donde π aparece, entre ellas la longitud de la circunferencia, área de la elipse, del círculo, del cilindro, cono, esfera, etc., pero desde luego, hay algunas curiosas. ¿Sabéis que la probabilidad que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si viene dada por la ecuación 6/π²?

En análisis matemático, la podemos encontrar en la fórmula de Leibniz:

$\sum_{n=0}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{n}}\over{2\,n+1}}}=\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

Producto de Wallis:

$\prod_{n=1}^{\infty }{{{4\,n^2}\over{4\,n^2-1}}}=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

Euler:

$\sum_{n=0}^{\infty }\cfrac{2^n n!^2}{(2n + 1)!}=1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2}$

Identidad de Euler:

$e^{\pi i} + 1 = 0\;$

Area de la campana de Gauss:

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

Fórmula de Stirling:

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1753:

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

Además π tiene varias representaciones como fracciones contínuas:

$\frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{4}{5 + \cfrac{9}{7 + \cfrac{16}{9 + \cfrac{25}{11 + \cfrac{36}{13 + \cfrac{\ldots}{\ddots}}}}}}}$

También como desarrollo en series:

$\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}$
Formas de representación aproximada a π:

$\frac {355}{113} = 3.141592....$ $\sqrt[29] {261424513284461} \approx \pi$

Y en el método de Montecarlo. En un círculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces el radio), el área del círculo es πr² y la del cuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo es círculo de π/4.

Por lo que respecta a cómputos de π (PI y los números primos) Utilizando el inverso del producto de Euler para la función zeta de Riemann y para el valor del argumento igual a 2 se obtiene:

$\frac{1}{\zeta(2)}=\lim_{n\to\infty \atop p_n \in \mathbf{P}}\left (1-\frac{1}{2^2}\right )\left (1-\frac{1}{3^2}\right )\left (1-\frac{1}{5^2}\right )\left (1-\frac{1}{7^2}\right )\left (1-\frac{1}{11^2}\right )...\left (1-\frac{1}{p_{n}^2}\right )=\frac{6}{\pi^2}$

donde p_n es el n-ésimo número primo. Euler fue el primero en hallar este valor de la función zeta (empleando la expresión de sumatoria) y resolviendo así el famoso problema de Basilea.

Una forma exacta de poder calcular π en términos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de Machin, descubierta en 1706:

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

A la hora de detallar infinidad de posiciones decimales de π, podemos utilizar las siguientes fórmulas modificadas de la anterior:

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$

La frecuente aparición de π en un análisis complejo puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de un variable compleja, descrita por la fórmula de Euler:

$e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!$

donde i es la unidad imaginaria que satisface la ecuación i² = − 1 y e ≈ 2.71828 es el número de Euler. Esta fórmula implica que las potencias imaginarias de e describen rotaciones de un círculo unitario en un plano complejo; estas rotaciones tienen un período de 360º = 2π. En particular, la rotación de 180º φ = π resulta en la notable identidad de Euler:

$e^{i \pi} = -1.\!$

Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad:

$e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).$

La identidad de Gauss:

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}.$

Una consecuencia es que el resultado de la división entre la función gamma de un semientero (la mitad de un número impar) y √π es un número racional.

En cuanto a la física, y sin ser una constante (física), π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo, debido en gran parte a su relación con la naturaleza del círculo y, correspondientemente, con el sistema de coordenadas esféricas. Usando unidades como las unidades de Plank se puede eliminar a veces a π de las fórmulas.

La constante cosmológica:

$\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho$

Principio de incertidumbre de Heisemberg:

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$

Ecuación de campo de Einstein de la relativad general:

$R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}$

Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica:

$F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$

Permeabilidad magnética del vacío:

$\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,$

Tercera ley de Kepler:

$\frac{P^2}{a^3}={(2\pi)^2 \over G (M+m)}$

Como curiosidad, deciros que el 14 de marzo en EEUU es el día nacional de π.

En definitiva, espero que este breve trabajo sobre π nos haya servido a todos para comprender un poco más un hecho que, por estar reconocido, no deja de sorprenderme (bueno, quizás sea a mi solo, pero realmente me parece algo enorme …)

Os aconsejo una película, Pi, fe en el caos, una película dirigida por Darren Aronofsky (ópera prima)

En cuanto a las referencias usadas en este artículo, son infinidad, casi tantas como π. Entre otras, se encuentran las siguientes:

G L Cohen and A G Shannon, John Ward’s method for the calculation of pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981)

New Introduction to Mathematics, William Jones, 1706, London.

Euclides, Elementos. Libro V

Einstein, Albert (1916). «The Foundation of the General Theory of Relativity» (os lo recomiendo; en PDF está dispuesto aquí)

Etc., etc., etc.

Tal y como os decía al principio de este artículo, aquí os dejo π con los primeros 10.000.000 millones de decimales. PI (con 10.000.000 millones de decimales)