A vueltas con la gravedad cuántica

Hola a todos de nuevo. Hace mucho tiempo que no publico nada en este blog. Sin duda cada vez las ideas escasean más y las colaboraciones se esfuman, dando como resultado un largo tiempo de aislamiento. Ya que estamos hablando de aislamiento, os voy a contar una historia sobre nuestro universo e intentaré enlazarla con la gravedad cuántica (gravitón?) Partiremos de las ecuaciones desarrolladas por Jorge Ales y seguiremos con la descripción de una interesante propuesta sobre la ley de la gravitación universal desde un punto de vista cuántico. Comencemos.

¿Es nuestro universo un sistema aislado?. Todos los modelos cosmológicos hasta la fecha se basan en considerar nuestro universo como un sistema aislado, utilizando la Teoría General de la Relatividad como instrumento válido para su estudio y análisis. No hay una razón objetiva que avale este axioma como válido, de hecho, en el universo conocido no existe ningún ejemplo de sistema estrictamente aislado. Este artículo explora la posibilidad de que nuestro universo no sea un sistema aislado.

Si el universo no es un sistema aislado tiene sentido hacer ciertas preguntas: ¿Cuál es la naturaleza de sus fronteras?. ¿Cómo es la interacción que permite el intercambio de energía e información entre nuestro universo y el exterior?. La respuesta propuesta a la primera pregunta será la hipótesis de partida de este trabajo: La frontera del universo es el tiempo en el sentido cuántico del término, todos los sucesos que lo constituyen se desarrollan en su presente como parámetro temporal de la función de onda del universo, tanto el futuro como el pasado están fuera de él. Existe un presente común (parámetro temporal de la función de onda del universo) a todos los observadores, aunque cada uno de ellos solo pueda observar el pasado del resto. La respuesta a la segunda pregunta podemos obtenerla al indagar sobre qué se puede entender por interacción unificada. En una teoría unificada se trata de que todas las interacciones puedan deducirse a partir de un único hamiltoniano con el grupo más alto de simetrías posible. Esto ocurriría a energías inimaginablemente altas, por ejemplo en el Big Bang o en el horizonte de sucesos de un agujero negro. La hipótesis de partida de este trabajo así como la definición de interacción unificada permitirá abrir un nuevo camino hacia la gravedad cuántica. Este camino nos permitirá descubrir una expresión de origen cuántico equivalente a la de la gravitación de Newton.

El tiempo y el espacio son subespacios tridimensionales simétricos y junto forman el espacio-tiempo de los sucesos. El plano de simetría estaría en el horizonte de sucesos de un agujero negro. Es decir, el horizonte de sucesos de un agujero negro separaría dos universos simétricos; las dimensiones espaciales del universo madre constituirían las dimensiones temporales del universo hijo. Nuestro universo sería un agujero negro dentro de otro universo externo. Las dimensiones espaciales se generan al principio del universo nuevo a partir de tres dimensiones microscópicas del universo madre (dimensiones arrolladas). Las tres dimensiones temporales del universo madre podrían dar el lugar a tres dimensiones microscópicas en el campo de las partículas elementales (dimensiones arrolladas) del universo hijo. El conjunto de un universo madre y otro hijo podrían tener nueve dimensiones. Estas dimensiones estarían agrupadas de tres en tres, alternando su funcionalidad en cada generación.

El concepto tiempo utilizado en esta hipótesis coincide con el concepto tiempo de la mecánica cuántica, es decir, cada una de las tres dimensiones temporales son parámetros temporales de otras tantas funciones de ondas. De análoga manera a como se define el observable posición, esta hipótesis permitiría definir el concepto observable tiempo que coincidiría con el concepto corriente del tiempo. Podemos denominar tiempo electrodébil al parámetro t₂, tiempo gravitatorio al parámetro t₁ y tiempo cosmológico al parámetro t₃.

La función de onda de una partícula sería de la siguiente forma:

Ψ(r,t₁,t₂,t₃) = C + iΨ₁(r, t₁) + jΨ₂(r, t₂) + kΨ₃(r, t₃)

Esta hipótesis propone un nuevo punto de vista de nuestro universo, el punto de vista exterior al universo. También permite definir el concepto de “volumen del universo” como el volumen de la esfera centrada en el observador y radio la distancia a la partícula más lejana observable. Es decir, V = (4/3) π R_h³, donde R_h es el radio de Hubble.

Nuestro universo podría ser considerado como un holograma tridimensional inscrito en una superficie esférica plana bidimensional de coordenadas temporales, el presente cosmológico común sería el radio de dicha esfera, la superficie constituiría el plano temporal generado por las coordenadas gravitatoria y electrodébil.

La respuesta a la pregunta de cómo es la interacción que permite el intercambio de información entre nuestro universo y el exterior nos la puede dar la respuesta a esta otra: ¿Cómo crece un agujero negro?, ¿Cuál será la mínima cantidad de energía y en qué tiempo mínimo se absorbería?. Aplicando estrictamente el principio de incertidumbre esta pregunta sólo admite una respuesta. En efecto, un agujero negro, al crecer, no puede perder su identidad de agujero negro y la absorción de energía debe producirse en un tiempo tal que ΔE Δt> = h / 4 π. En este tiempo, el horizonte de sucesos se expandirá una longitud Δr; si este horizonte también está sujeto al límite de c como velocidad máxima admisible entonces Δr / Δt = c. Por otra parte, la ecuación característica de un agujero negro de Schwarzschild con energía M y radio del horizonte de sucesos R es c² = 2 G M /R ó R = 2 G M / c². Apliquemos esta ecuación a un agujero negro antes y después de crecer:

R₀ = 2 G M / c²

R₀ + Δr =2 G (M + Δm) / c²

ΔE = Δm c²

De estas tres expresiones se deduce que Δr = 2 G ΔE / c⁴ para la mínima cantidad de energía absorbida. Si la absorción se debe producir en el tiempo mínimo, entonces ΔE Δt = h / 4 π. Dividiendo esta y la anterior igualdad obtenemos:

Δr / ΔE Δt = 8 π G ΔE / h c²

ΔE² = c³ h / 8 π G

Si llamamos ћ a h / 2 π y teniendo en cuenta que la masa de Planck (m_p) se define como m_p = (ћ c / G)^1/2, llegamos a la conclusión de que un agujero negro crece absorbiendo paquetes de energía por valor de media masa de Planck cada tiempo de Planck (t_p = (G ћ / c⁵)^1/2), expandiendo su horizonte de sucesos una longitud de Planck (l_p = (G ћ / c³)^1/2). La masa de un agujero negro vendría dada por la expresión M = N m_p/ 2  y el radio por N l_p, donde N es un número entero que indica el orden del último proceso de absorción. La densidad de un agujero negro puede calcularse:

ρ = M / (4/3) π R³

ρ = (N m_p / 2) / (4/3) π N³ l_p³, and y sustituyendo los valores de l_p and m_p obtenemos:

ρ = 3 c² / 8 π G R², es decir, un agujero negro tiene densidad crítica.

El resultado anterior permite postular que la interacción responsable del intercambio de información entre un universo y su entorno consiste en el intercambio o absorción de media masa de Planck cada tiempo de Planck. El universo (agujero negro) acumularía energía en el exterior de su horizonte de sucesos, al llegar a una masa de Planck el universo absorbería media masa de Planck y el resto retornaría al universo exterior.

Consideremos en primer lugar un sistema cuántico de N² osciladores elementales iguales, cada uno con un momento angular respecto  al sistema de valor ћ/2 y longitud de onda igual a 2 R_h,  donde R_h = N l_p. Es fácil comprobar que este sistema puede describir un agujero negro tal como el que vimos en el epígrafe anterior. En efecto, la energía de cada oscilador, a partir de su momento angular, vale E = m₀c², donde m₀=ћ/ 2 c R_h. Si multiplicamos m₀ por N² obtenemos una masa (energía) total de M = N² ћ / 2 c N l_p, es decir M = N m_p/2. Y consecuentemente M = c²R_h/ 2 G, definición del agujero negro de Schwarzschild.

Si el sistema cuántico anterior coincide efectivamente  con un agujero negro, podríamos describir de manera cualitativa  la interacción entre universos postulada en el epígrafe anterior.  Como vimos, el agujero negro iría acumulando energía en su  horizonte de sucesos, al llegar a la cantidad de una masa de  Planck absorbería media masa de Planck y el resto  retornaría al universo. Es fácil comprobar que para que el valor  acumulado del número de osciladores elementales con momento  angular ћ/2 fuera igual a N², en cada absorción  debería añadirse un momento angular igual a (2N-1) ћ,  dado que la masa de Planck acumulada en el horizonte de sucesos tiene  un momento angular de m_p c N l_p = 2 N ћ,  la partícula media masa de Planck absorbida inyectará  un momento angular de (2N-1) ћ y el resto de energía  sería expulsada hacía el universo en forma de rayo  gamma (spin 1). Estos rayos gammas extraordinariamente energéticos  podrían ser los causantes de las ráfagas de  rayos gammas (GRBs Gamma Ray Bursts) observadas en galaxias distantes,  desencadenando una cadena de creación/aniquilación de  partículas y antipartículas. Como se sabe este  fenómeno (Gamma Ray Bursts) carecía hasta el momento de  un mecanismo origen conocido. Los rayos cósmicos que observamos en nuestra atmósfera también pueden ser causados por este fenómeno. Es necesario insistir en que las partículas absorbidas por el agujero negro consisten fundamentalmente  en energía y momento angular, no se hace ninguna hipótesis de  como se reorganiza el “interior” del agujero negro, solo interesa saber que  existen N² osciladores elementales con momento angular ћ/2 cada uno.

En el artículo de Marcelo A. Crotti se expone un modelo de partículas que permite deducir las transformaciones de  Lorentz directamente de las  características de las partículas.  Solo es necesario postular un medio primordial donde ocurren las interacciones.  Los componentes básicos de este medio primordial se postulan como  osciladores unidimensionales (como en la teoría de supercuerdas).  La diferencia básica con la teoría de supercuerdas es que los osciladores no son solo considerados como los componentes básicos  de las partículas. Los osciladores se postulan como llenando (y definiendo)  todo el Universo, mientras que las partículas serían sólo una  manifestación de la interacción coordinada de los osciladores unidimensionales.  Para entender los fundamentos de este desarrollo, es posible realizar  una analogía con las olas en el agua y con los tornados en el aire.  Ambos fenómenos son sólo el resultado del movimiento coordinado  de moléculas de agua y de aire. Pese a su poder destructor y a que  parezcan comportarse como algo más que un grupo de moléculas  con movimientos coordinados, ni los tornados, ni las olas marinas  están constituidos por alguna clase novedosa de material.

Como se puede ver, este nuevo enfoque resulta compatible con las fórmulas de la Relatividad Especial, pero evita las clásicas paradojas de esta última. Los siguientes son los puntos principales del desarrollo presentado:

El modelo desarrollado es compatible con la teoría del electromagnetismo y con la Relatividad Especial, dado que conduce a las mismas fórmulas de cálculo para todas las mediciones convencionales.

De acuerdo con este nuevo modelo, para sistemas en movimiento relativo, los cambios en tiempos y longitudes son reales, del mismo modo que lo es la transformación de masa en energía.

En este modelo los observadores “en movimiento” y “en reposo” coinciden en la apreciación de que los relojes marchan más lentamente en los sistemas en movimiento. Esto no implica la existencia de un sistema absoluto de referencia pues los sistemas sólo están en movimiento con respecto al marco que define localmente el espacio. Este concepto es análogo al involucrado en el movimiento de olas y corrientes con respecto a la enorme masa de agua oceánica, de la que forman parte. No existen moléculas de agua que puedan reclamar el derecho de considerarse en “reposo absoluto”. Sin embargo la velocidad de los fenómenos de transporte sólo cobra significado cuando se la estudia con respecto a la masa local “estacionaria” de agua.

Con apoyo en el artículo anterior y a partir de la hipótesis de partida podemos decir que las partículas de nuestro universo (las olas en el océano) son descritas por la función de onda clásica de la mecánica cuántica conocida, su parámetro temporal será el tiempo electro-débil t₂. El substrato de osciladores elementales (el océano) puede ser considerado como un estado mezcla con densidad de probabilidad  ρ_p(r, t₁,t₃) = Ψ*(r, t₁, t₃) Ψ(r, t₁, t₃), donde t₁ es el tiempo gravitatorio y t₃ es el tiempo cosmológico, ver epígrafe 2. El subíndice p indica que se trata de densidad de probabilidad para diferenciarla de la densidad de energía.

Los osciladores no pueden ser ubicados en ningún momento, sin embargo, sí puede utilizarse la función densidad de probabilidad |Ψ₁(r,t₁)|² para el estudio de este sistema. Las partículas observables en nuestro mundo serían acumulaciones de densidad de probabilidad en forma de “soliton”. Serían fluctuaciones estables de esta función densidad de probabilidad. La función de onda completa de una partícula sería Ψ(r, t₁,t₂, t₃)  y tendría carácter vectorial (cuaternión), es decir, sería de la forma siguiente:

Ψ(r,t₁,t₂,t₃) = C + kΨ₃(r, t₃) + iΨ₁(r, t₁) + jΨ₂(r, t₂)       (2.1)

En la expresión anterior tanto i como j y k son unidades imaginarias.

La función matriz de densidad de probabilidad basada en t₁, t₂ y t₃ podría calcularse:

ρ_p(r,t₁,t₂,t₃) = |Ψ(r,t₁,t₂,t₃)|² = |Ψ₃(r, t₃)|² + |Ψ₁(r, t₁)|² + |Ψ₂(r, t₂)|²       (2.2)

Podríamos identificar la gravitación con el desplazamiento de los osciladores elementales hacia lugares de mayor densidad de probabilidad, igual que la corriente del río arrastra las ondas producida por la caída de una piedra, las partículas serían arrastradas por esta corriente de probabilidad.

La hipótesis del tiempo tridimensional permite escribir la expresión relativista de la energía de la siguiente forma:

E² = m₀²c⁴ + c²p₁² + c²p₂²

La energía en reposo puede identificarse con la energía sobre el eje cosmológico del tiempo, siendo el momento cinético observado una composición de los momentos cinéticos responsables de las energías cinéticas sobre los ejes gravitatorio y electro-débil.

Los siguientes planteamientos se hacen en un ámbito no relativista, es decir, para velocidades y campos gravitatorios pequeños. Se considerará que la expresión de la energía mecánica es E = 1/2 m v² – V(r) y aplicable por tanto la ecuación de onda de Schrödinger. Esta ecuación para el tiempo gravitatorio quedaría de la siguiente forma:

i ћ δ Ψ₁(r, t₁) / Δt₁ = – (ћ²/2m) Δ²Ψ₁(r, t₁) / Δ²t₁ – V(r)Ψ₁(r, t₁)

En esta función el potencial V(r) no depende del tiempo t₁, sería identificable, por ejemplo, con el potencial electromagnético dependiente de t₂. Para una partícula en caída libre, es decir, libre de potenciales sería 0.

Con objeto de calcular el valor de |Ψ₁(r, t₁)|² podemos considerar que todas las manifestaciones energéticas están en última instancia conformadas por los osciladores elementales indicados previamente. Por consiguiente, una buena aproximación al valor anterior, definido en el volumen generado por una superficie cerrada, sería el cociente entre la energía total en el interior de dicho volumen y la energía total del universo, es decir m / M. A partir de la densidad de energía media en el interior del volumen sería de la forma: ρ(r) v / ρ(R_h) V.  Para sistemas con simetría esférica, que son los que contemplan los sistemas a los que se aplica la ley de Newton de la gravitación, podemos aproximar tanto v como V a r³ y R_h³ respectivamente, obtendríamos la probabilidad en el interior de la superficie cerrada indicada previamente:

|Ψ₁(r, t₁)|² = ρ(r) r³ / ρ(R_h) R_h³      (2.3)

La expresión |Ψ₃(r, t₃)|² puede calcularse teniendo en cuenta que sobre el tiempo t₃ no hay referencias espaciales. Podemos decir por tanto que la probabilidad de encontrar una partícula en el volumen v es v/V, donde V es el volumen del universo.

|Ψ₂(r, t₂)|² + |Ψ₃(r, t₃)|² + |Ψ₁(r, t₁)|² = |Ψ₂(r, t₂)|² + r³ / R_h³ + ρ(r) r³ / ρ(R_h) R_h³      (2.4)

Esta expresión sería válida en ausencia de sucesos. Dado que en efecto la partícula m es detectada, es decir, un suceso observable tiene lugar a la distancia r, es necesario modificar esta distribución de probabilidad aplicando la definición de probabilidad condicionada. Para calcular la probabilidad condicionada al hecho de que se detecta la partícula a la distancia r, es necesario, aplicando la definición de probabilidad condicionada, dividir por la probabilidad de que esté a una distancia máxima r, es decir, dividir por r/R_h. La expresión (2.4) quedaría de la siguiente forma (|Ψ₂(r, t₂)|² incluye el factor r/R_h):

|Ψ₂(r, t₂)|² + |Ψ₁(r, t₁)|² + |Ψ₃(r, t₃)|² = |Ψ₂(r, t₂)|² + r² / R_h² + ρ(r) r² / ρ(R_h) R_h²      (2.5)

Es necesario normalizar la ecuación anterior. Si hacemos el cálculo de probabiliad ampliado a todo el universo  parece que obtendríamos un valor de 3. Sin embargo si considerábamos que no existen referencias temporales cosmológicas (todos los observadores comparten el mismo coordenada temporal) podemos forzar un signo negativo al término cosmológico  obteniéndose la normalización de la función anterior de la densidad.

|Ψ₂(r, t₂)|² + |Ψ₁(r, t₁)|² + |Ψ₃(r, t₃)|² = |Ψ₂(r, t₂)|² – r² / R_h² + ρ(r) r² / ρ(R_h) R_h²      (2.5.1)

La expresión (2.5.1) permitiría calcular los valores medios de los diferentes observables, en este caso de la posición, de la energía cinética o del momento. Sin embargo en esta exposición nos estamos limitando al ámbito no relativista y por tanto no tendremos en cuenta el término sobre el tiempo t₃, dado que éste está ligado a la energía en reposo. La densidad de probabilidad sobre el tiempo gravitatorio t₁ nos permitiría encontrar el momento cinético sobre dicho tiempo; la densidad de probabilidad sobre el tiempo t₂ el momento cinético sobre este otro. El momento cinético observable vendría dado por la siguiente expresión:

p² = p₁² + p₂²

Podemos usar la expresión (2.5.1) para calcular el promedio de energía cinética que correspondiente a t₁ y a t₃ de una partícula localizada en algún punto sobre la superficie cerrada anterior. Al calcular las energías en t₁ o t₃, podemos simplificar el cálculo considerando que el término de la función de onda dependiente del tiempo es de la forma e^{-i E t / ћ}, donde E = 1/2 m₀ c² en ambas coordenadas temporales. Aplicando al operador hamiltoniano se obtiene:

E_c = E_c2 + (1/2) m c² ρ(r) r² / ρ(R_h) R_h² – (1/2) m c² r² / R_h²      (2.6)

Es decir:

(1/2) m v² = (1/2) m v₂² + (1/2) m v₁² – (1/2) m v₃²       (2.6.1)

En (2.6), m es la masa de la partícula observada, en este caso, m = n*m₀ (n es un número entero). La expresión (1/2) m c² r² / R_h²             puede ser considerada como la energía cinética debida a la expansión del universo; no la consideraremos en lo que sigue. Podemos sustituir la expresión de la energía cinética sobre el tiempo gravitatorio en la expresión p² = p₁² + p₂². Obtendremos, llamando K a la energía cinética observada y K₂ a la energía cinética sobre el tiempo electrodébil, lo siguiente:

K = K₂ + (1/2) m c² ρ(r) r² / ρ(R_h) R_h²

Y la expresión de K₂ será:

K₂ = K – (1/2) m c² ρ(r) r²/ ρ(R_h) R_h²

Esta expresión se puede comparar con la de la energía mecánica no relativista:

E_m = (1/2) m v² – (1/2) m c² ρ(r) r² / ρ(R_h) R_h²

Considerando que c² / R_h² es la constante de Hubble H podemos escribir la expresión anterior como:

 E_m = (1/2) m v² – (1/2) m H² r² ρ(r) / ρ(R_h)

 Para una distribución esférica, podemos sustituir ρ(r) por M / (4/3) π r³ (M es la masa total en el interior de la superficie)  y ρ(R_h) by 3 c² / 8 π G R_h², obteniendo:

 E_m = 1/2 m v² – G M m / r

Esta expresión es la ya conocida de la energía mecánica clásica y nos permite identificar dicha energía mecánica con la energía cinética sobre el tiempo electro-débil. Así mismo podemos llamar gravitación cuántica a la siguiente expresión:

V(m)=-1/2 m H2 r2 (p(r)/p(Rh))

Sustituyendo la constante de Hubble por su valor:

V(m)=-1/2 mc2 (r2 p(r)/R2h p(Rh))

Esta última expresión permite fácilmente verificar que es invariante Lorentz. Tanto r como R_h son afectados por las transformaciones de Lorentz en el mismo sentido.

La hipótesis del tiempo tridimensional, puede permitir abrir un camino al tratamiento  cuántico de la gravitación de una manera natural,  dando un origen típicamente cuántico a  la gravitación y resolviendo algunos misterios de la  cosmología moderna. Adicionalmente, la expresión  de densidad de probabilidad (2.5) elimina el problema de las singularidades de la Teoría General de la Relatividad; la  densidad de energía en el volumen considerado no podría  crecer indefinidamente dado que la probabilidad de detectar una  partícula no puede ser mayor que 1. La mayor densidad posible es la densidad de la partícula media masa de Planck, en ella la expresión (2.5) vale 1 y por consiguiente tiene sentido considerarla como un embrión de universo; la absorción de posteriores paquetes de energía de valor media masa de Planck mantiene el valor de la expresión (2.5) con valor 1.

Bien, pues como propuesta sin duda es interesante. Aún más lo sería si esta hipótesis fuera desarrollada hasta el final, aunque para ello, sin duda, se necesitaría ser un genio y, claro está, andamos escasos de genios. No obstante, no podemos dar por sentado nada y más cuando están de por medio la gravedad y la mecánica cuántica. Einstein se tiró los últimos treinta y cinco años de su vida intentando que hicieran las paces, y eso nunca fue posible. Quizás algún día, quizás, pueda ver una teoría unificada reconocida oficialmente y la hipótesis de Riemann resuelta … Soñar no cuesta, aunque esto creo que es más que eso.

Saludos y hasta la próxima.