Teoría de la relatividad: relatividad general

Bueno, con algo de retraso, publicaremos esta semana la segunda parte correspondiente a la teoría de la relatividad, concretamente, la referida a la relatividad general. Como adelantamos la semana pasada, ésta surgió de la necesidad de encuadrar la gravedad (una de las cuatro fuerzas fundamentales del universo) dentro de la teoría de la relatividad especial. Más correctamente escrito, Einstein tuvo la necesidad de “generalizar” la teoría especial de la relatividad, e incluir un conjunto de ecuaciones que explicaran el funcionamiento del universo. Dicho de otra forma, La teoría general de la relatividad o relatividad general es una teoría del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales.

Antes de meternos con toda la parte “dura” de la teoría, explicaremos cómo se demostró. Realmente fue toda una proeza, sobre todo teniendo en cuenta los tiempos que corrían. La comprobación básica de la teoría se realizó a cabo en 1919, y fue llevada a cabo por el astrófísico Sir Arthur Stanley Eddington, quien corroboró la teoría de la relatividad general de Einstein. Este predijo un desplazamiento aparente de la posición de 1,745 segundos de arco para una estrella situada justo en el borde del Sol, y desplazamientos cada vez menores de las estrellas más distantes. Sus predicciones fueron exactas. Por supuesto esto solo podría ser comprobado durante un eclipse, pero lo increible es que Einstein tuvo que solicitar la ayuda de varios observatorios de la época. La mayoría no respondió a su petición, pero finalmente hubo un par de ellos que accedieron. El primer intento fue interrumpido por la primera guerra mundial. El segundo pudo ser llevado a cabo, no sin cierta reserva en cuanto a sus resultados. De hecho, por una limitación lógica (tecnológica) de la época, las observaciones indujeron a errores de bulto en los observadores, lo que llevaron a confirmar que Einstein, se confundía. La teoría de la relatividad general era falsa. Esto estuvo a punto de ser anunciado a bombo y platillo a la comunidad científica mundial cuando un telegrama suspendió dicho anuncio. En el se informaba que una tercera observación (con más éxito) inducía a pensar que Einstein estaba en lo cierto. Esto pudo ser llevado finalmente a cabo con todos los honores cuatro meses despúes. Por cierto, ¿sabíais que de los 410 segundos que duró el eclipse tan sólo durante 10 segundos el cielo estuvo despejado?

Bueno, ahora nos meteremos en profundidad con la teoría general de la relatividad.

La teoría general de la relatividad o relatividad general es una teoría del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales, publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916.

El nombre de la teoría se debe a que generaliza la llamada teoría especial de la relatividad. Los principios fundamentales introducidos en esta generalización son el principio de equivalencia, que describe la aceleración y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la noción de la curvatura del espacio-tiempo y el principio de covariancia generalizado.

La intuición básica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. La teoría general de la relatividad permitió también reformular el campo de la cosmología.

Poco después de la publicación de la teoría de la relatividad en 1905, Albert Einstein comenzó a pensar en cómo incorporar la gravedad en su nuevo marco relativista. En 1907, comenzando con un sencillo experimento mental basado en un observador en caída libre, se embarcó en lo que sería una búsqueda de ocho años de una teoría relativista de la gravedad. Después de numerosos desvíos y falsos comienzos, su trabajo culminó en noviembre de 1915 con la presentación a la Academia Prusiana de Ciencias de lo que hoy son conocidas como las ecuaciones de campo de Einstein. Estas ecuaciones especifican cómo la geometría del espacio y el tiempo está influenciado por la materia presente, y forman el núcleo de la teoría de la relatividad general de Einstein.

Las ecuaciones de campo de Einstein son no lineales y muy difíciles de resolver. Einstein utilizó los métodos de aproximación en la elaboración de las predicciones iniciales de la teoría. Pero ya en 1916, el astrofísico Karl Schwarzschild encontró la primera solución exacta no trivial de las ecuaciones de campo de Einstein, la llamada Métrica de Schwarzschild. Esta solución sentó las bases para la descripción de las etapas finales de un colapso gravitacional, y los objetos que hoy conocemos como agujeros negros. En el mismo año, los primeros pasos hacia la generalización de la solución de Schwarzschild a los objetos con carga eléctrica fueron tomados, que finalmente resultaron en la solución de Reissner-Nordström, ahora asociada con la carga eléctrica de los agujeros negros. En 1917, Einstein aplicó su teoría al universo en su conjunto, iniciando el campo de la cosmología relativista. En línea con el pensamiento contemporáneo, asumió un universo estático, añadiendo un nuevo parámetro a su ámbito original -la constante cosmológica- para reproducir esa “observación”. En 1929, sin embargo, el trabajo de Hubble y otros han demostrado que nuestro universo se está expandiendo. Esto es fácilmente descrito por las soluciones encontradas por Friedmann para la expansión cosmológica en 1922, que no requieren de una constante cosmológica. Lemaître utilizó estas soluciones para formular la primera versión de los modelos del Big Bang, en la que nuestro universo ha evolucionado desde un estado anterior extremadamente caliente y denso. Einstein declaró más tarde la constante cosmológica como el mayor error de su vida.

Durante ese período, la relatividad general se mantuvo como una especie de curiosidad entre las teorías físicas. Fue claramente superior a la gravedad newtoniana, siendo consistente con la relatividad especial y contestaba varios efectos no explicados por la teoría newtoniana. El mismo Einstein había demostrado en 1915 cómo su teoría explica el avance del perihelio anómalo del planeta Mercurio sin ningún parámetro arbitrario. Del mismo modo, en una expedición de 1919 liderada por Eddington confirmaron la predicción de la relatividad general para la desviación de la luz estelar por el Sol durante el eclipse total de Sol del 29 de mayo de 1919, haciendo a Einstein instantáneamente famoso. Sin embargo, la teoría ha entrado en la corriente de la física teórica y la astrofísica sólo con el desarrollo de aproximadamente entre 1960 y 1975, ahora conocido como la edad de oro de la relatividad general. Los físicos empezaron a comprender el concepto de un agujero negro, e identificar la manifestacion de objetos astrofísicos como los cuásares. Cada vez más precisas, las pruebas del sistema solar confirmaron el poder predictivo de la teoría, y la cosmología relativista, también se volvió susceptible a encaminar pruebas observacionales.

Las características esenciales de la teoría de la relatividad general son las siguientes:

El principio general de covariancia: las leyes de la física deben tomar la misma forma matemática en todos los sistemas de coordenadas.
El movimiento libre inercial de una partícula en un campo gravitatorio se realiza a través de trayectorias geodésicas.
El principio de equivalencia ( puntualmente es indistinguible un sistema campo gravitatorio de un sistema de referencia no inercial acelerado) o de invariancia local de Lorentz: las leyes de la relatividad especial (espacio plano de Minkowski) se aplican localmente para todos los observadores inerciales.

El principio de covariancia es la generalización de la teoría de la relatividad especial, donde se busca que las leyes físicas tengan la misma forma en todos los sistemas de referencia. Esto último equivale a que todos los sistemas de referencia sean indistinguibles, y desde el punto de vista físico equivalentes. En otras palabras, que cualquiera que sea el movimiento de los observadores, las ecuaciones tendrán la misma forma matemática y contendrán los mismos términos. Ésta fue la principal motivación de Einstein para que estudiara y postulara la relatividad general.

El principio de covariancia sugería que las leyes debían escribirse en términos de tensores, cuyas leyes de transformación covariantes y contravariantes podían proporcionar la “invariancia” de forma buscada, satisfaciéndose el principio físico de covariancia.

Un hito fundamental en el desarrollo de la teoría de la relatividad general lo constituyó el principio enunciado por Albert Einstein en el año 1912: principio de equivalencia, al que su autor calificó como «la idea más feliz de mi vida». Dicho principio supone que un sistema que se encuentra en caída libre y otro que se mueve en una región del espacio-tiempo sin gravedad se encuentran en un estado físico sustancialmente similar: en ambos casos se trata de sistemas inerciales.

La mecánica clásica distinguía entre cuerpos de movimiento inercial (en reposo o moviéndose a velocidad constante) o cuerpos de movimiento no inercial (aquellos sometidos a un movimiento acelerado). En virtud de la segunda ley de Newton, toda aceleración estaba causada por la aplicación de una fuerza exterior. La relación entre fuerza y aceleración se expresaba mediante esta fórmula:

$m = \frac{F}{a}$

Donde a la aceleración, F la fuerza y m la masa. La fuerza podía ser de origen mecánico, electromagnético o, cómo no, gravitatorio. Según los cálculos de Galieo y de Newton, la aceleración gravitatoria de los cuerpos era constante y equivalía a 9,8 m/s² sobre la superficie terrestre. La fuerza con la que un cuerpo era atraído hacia el centro de la Tierra se denominaba peso. Evidentemente, según los principios de la mecánica clásica un cuerpo en caída libre no es un sistema inercial, puesto que se mueve aceleradamente dentro del campo gravitatorio en que se encuentra.

Sin embargo, la teoría de la relatividad considera que los efectos gravitatorios no son creados por fuerza alguna, sino que encuentran su causa en la curvatura del espacio-tiempo generada por la presencia de materia. Por ello, un cuerpo en caída libre es un sistema (localmente) inercial, ya que no está sometido a ninguna fuerza (porque la gravedad no es como tal en relatividad general). Un observador situado en un sistema inercial (como una nave en órbita) no experimenta ninguna aceleración y es incapaz de discernir si está atravesando o no, un campo gravitatorio. Como consecuencia de ello, las leyes de la física se comportan como si no existiera curvatura gravitatoria alguna. De ahí que el principio de equivalencia también reciba el nombre de Invariancia Local de Lorentz: En los sistemas inerciales rigen los principios y axiomas de la relatividad especial.

El principio de equivalencia implica asimismo que los observadores situados en reposo sobre la superficie de la tierra no son sistemas inerciales (experimentan una aceleración de origen gravitatorio de unos 9,8 metros por segundo al cuadrado, es decir, “sienten su peso”)

Aunque la mecánica clásica tiene en cuenta la aceleración medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (p.e. un astrónomo); el Principio de Equivalencia, contrariamente, toma en consideración la aceleración experimentada por un observador situado en el sistema en cuestión: cualquier cuerpo que se mueva sin restricciones por un campo gravitatorio puede ser considerado como un sistema inercial. Es el caso de los planetas que orbitan en torno del Sol y de los satélites que orbitan alrededor de los primeros: los habitantes de la Tierra no llegan a percibir si nos estamos acercando o alejando del Sol, ni si nos encontramos en el afelio o en el perihelio, a pesar de las enormes diferencias de la gravedad solar.

La gravedad se convierte, en virtud del Principio de Equivalencia, en una fuerza aparente, como la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis: en estos dos últimos supuestos su aparición es debida a la elección de un marco de referencia acelerado (un observador situado en la superficie de una esfera en rotación). En el caso de la gravedad, únicamente percibimos la fuerza aparente gravitatoria cuando escogemos un sistema de referencia no inercial (en reposo sobre la superficie terrestre), pero no cuando nos situamos en otro que sí lo es (un cuerpo en caída libre).

Aunque el principio de equivalencia fue históricamente importante en el desarrollo de la teoría, no es un ingrediente necesario de una teoría de la gravedad, como prueba el hecho de que otras teorías métricas de la gravedad, como la teoría relativista de la gravitación prescindan del principio de equivalencia. Además conviene señalar que el principio de equivalencia no se cumple en presencia de campos electromagnéticos, por ejemplo una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica de un espacio-tiempo cualquiera en general emitirá radiación, a diferencia de una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica del espacio de Minkowski. Ese y otros hechos sugieren que el principio de equivalencia a pesar de su equivalencia histórica no es parte esencial de una teoría relativista de la gravitación.

La aceptación del principio de equivalencia por Albert Einstein le llevó a un descubrimiento ulterior: la contracción o curvatura del tiempo como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio, que quedó expresado en su artículo de 1911 “Sobre la influencia de la gravedad en la propagación de la luz”.^[1]

Supongamos que un fotón emitido por una estrella cercana se aproxima a la Tierra. En virtud de la ley de conservación del tetramomentum la energía conservada del fotón permanece invariante. Por otro lado, el principio de equivalencia implica que un observador situado en el fotón (que es un sistema inercial, es decir, se halla en caída libre) no experimenta ninguno de los efectos originados por el campo gravitatorio terrestre. De ello se deduce que la energía conservada del fotón no se altera como consecuencia de la acción de la gravedad, y tampoco lo hace la frecuencia de la luz, ya que, según la conocida fórmula de la física cuántica, la energía de un fotón es igual a su frecuencia v multiplicada por la constante de Planck h: E = hν.

Ahora bien, si las observaciones las realizara un astrónomo situado en la superficie de la Tierra, esto es, en reposo respecto su campo gravitatorio, los resultados serían muy diferentes: el astrónomo podría comprobar cómo el fotón, por efecto de su caída hacia la Tierra, va absorbiendo progresivamente energía potencial gravitatoria y, como consecuencia de esto último, su frecuencia se corre hacia el azul. Los fenómenos de absorción de energía por los fotones en caída libre y corrimiento hacia el azul se expresan matemáticamente mediante las siguientes ecuaciones:

$\ E_{obs}=E_{con} e^{-\Phi}$ $\ h \nu_{rec}=h \nu_{em} e^{-\Phi}$ $\nu_{rec}=\nu_{em} e^{-\Phi}\,$

donde $E_{obs}\,$ es la energía medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (en este caso un astrónomo), $\ \Phi$ el potencial gravitatorio de la región donde se encuentra éste, $\ E_{con}$ la energía conservada del fotón, ν_em la frecuencia de emisión, ν_rec es la frecuencia percibida por el observador (y corrida hacia el azul) y $\ h$ la constante de Planck.

Ahora bien, en el párrafo anterior hemos demostrado que la energía conservada del fotón permanece invariante. Por tanto, ¿cómo es posible que exista esta divergencia entre los resultados de la medición de la energía obtenidos por el astrónomo (E_obs) y la energía conservada del fotón (E_con)? La única manera de resolver esta contradicción es considerando que el tiempo se ralentiza como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio. De este modo, la citada ecuación:

$\ \nu_{rec}=\nu_{em} e^{-\Phi}$

puede escribirse de esto modo:

$\ \frac{\mbox{ciclos}}{\Delta t_{obs}}= \frac{\mbox{ciclos}}{\Delta t_{em}} e^{-\Phi}$

Es decir, la frecuencia es igual al número de ciclos que tienen lugar en un determinado período (generalmente, un segundo). Donde Δt_em es el tiempo medido por un observador situado a una distancia infinita del cuerpo masivo (y por lo tanto no experimenta la atracción gravitatoria de éste), mientras que Δt_obs es el tiempo medido por un observador bajo la influencia del campo gravitatorio y en reposo respecto a este (como, por ejemplo, una persona situada sobre la superficie terrestre). De ahí se deduce que cerca de un cuerpo masivo el tiempo se ralentiza, siguiendo estas reglas matemáticas:

$\Delta t_{em} = \Delta t_{obs} e^{-\Phi}\,$ $\Delta t_{obs} = \Delta t_{em} e^{\Phi}\,$

En una singularidad espacio-temporal (como las que existen en el interior de los agujeros negros), la densidad de masa-materia y el campo gravitatorio tienden al infinito, lo que provoca la congelación del tiempo y por lo tanto la eliminación de todo tipo de procesos dinámicos:

$\lim_{r\to 0} \Delta t_{obs}= \Delta t_{em} e^{-\infty} \to \lim_{r\to 0} \Delta t_{obs}= 0$

La contracción del tiempo debido a la presencia de un campo gravitatorio fue confirmada experimentalmente en el año 1959 por el experimento Pound-Rebka-Snider, llevado a cabo en la universidad de Harvard. Se colocaron detectores electromagnéticos a una cierta altura y se procedió a emitir radiación desde el suelo. Todas las mediciones que se realizaron confirmaron que los fotones habían experimentado un corrimiento hacia el rojo durante su ascenso a través del campo gravitatorio terrestre.

Hoy en día, el fenómeno de la contracción del tiempo tiene cierta importancia en el marco del servicio localizador GPS, cuyas exigencias de exactitud requieren de una precisión extrema: Basta con que se produzca un retraso de 0.04 microsegundos en la señal para que se produzca un error de posicionamiento de unos 10 metros. De ahí que las ecuaciones de Einstein hayan de ser tenidas en cuenta al calcular la situación exacta de un determinado objeto sobre la superficie terrestre.

Desde un punto de vista teórico, el artículo de Einstein de 1911 tuvo una importancia aún mayor. Pues, la contracción del tiempo conllevaba también, en virtud de los principios de la relatividad especial, la contracción del espacio. De ahí que fuera inevitable a partir de este momento descartar la existencia de un espacio-tiempo llano, y fuera necesario asumir la curvatura de la variedad espacio-temporal como consecuencia de la presencia de masas.

En la relatividad general, fenómenos que la mecánica clásica atribuye a la acción de la fuerza de gravedad, tales como una caída libre, la órbita de un planeta o la trayectoria de una nave espacial, son interpretados como efectos geométricos del movimiento en un espacio-tiempo curvado. De hecho una partícula libre en un campo gravitatorio sigue líneas de curvatura mínima a través de este espacio tiempo-curvado.

Finalmente, podemos hacer referencia a la desviación de los rayos de la luz como consecuencia de la presencia de un cuerpo masivo, fenómeno que da lugar a efectos ópticos como las lentes gravitacionales o los anillos de Einstein.

Uno de los conceptos esenciales sobre el que gira toda la teoría de la relatividad general es el de derivada covariante (a veces impropiamente llamada conexión afín), que fue definida por primera vez por el matemático italiano Tullio Levi-Civita y que puede ser considerada tanto desde una perspectiva física como desde otra matemática. Desde un punto de vista físico, la derivada ordinaria de la velocidad es la aceleración de un cuerpo medida por un observador externo en reposo respecto a un campo gravitatorio (por ejemplo, un astrónomo situado sobre la superficie terrestre). En este caso el observador se mantiene a una distancia r constante del centro de masas, pero no así el objeto observado, que progresivamente se va aproximando al origen del campo gravitatorio.

Por el contrario, la derivada covariante de la velocidad $\left(\frac{D \vec u}{d\tau}\right)$ ó $\nabla_{\vec u} \vec u$ es la aceleración medida por un observador comóvil, es decir, que está en reposo respecto al cuerpo en caída libre (por ejemplo, el piloto de un avión en caída libre o los tripulantes de una nave espacial con sus motores apagados).

En resumidas cuentas, la derivada ordinaria se utiliza para computar la aceleración ordinaria de un cuerpo, mientras que la derivada covariante es empleada para calcular su aceleración inercial. Según la mecánica galileana y newtoniana estos dos tipos de aceleración son idénticos, y en base a este axioma se desarrollaron nuevos principios mecánicos como el Principio de d’Alembert. Sin embargo, del principio de equivalencia de Einstein se deduce que cuando un cuerpo está sometido a un campo gravitatorio, su aceleración ordinaria cambia, pero no su aceleración inercial. De ahí que para Einstein fuera absolutamente necesario introducir en su teoría el concepto de derivada covariante.

Desde un punto de vista estrictamente matemático, el cálculo de la derivada covariante tiene lugar a través de un sencillo procedimiento. Se procede en primer lugar al cómputo de la derivada parcial covariante y luego se generaliza ésta.

La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector, mientras que la derivada covariante se aplica también sobre las bases del espacio vectorial:

$\nabla_\beta \vec u = \partial_\beta (u^\alpha \vec e_\alpha)$

Sobre esta ecuación procedemos a aplicar la regla del producto (o de Leibniz),

$\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + u^\alpha (\partial_\beta \vec e_\alpha)$

Llegados a este punto introducimos una nueva notación, los símbolos de Christoffel, que pueden ser definidos como el componente $\ \mu$ de la derivada parcial de $\ e_\alpha$ respecto a $\ \beta$ : $\partial_\beta \vec e_\alpha = \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \vec e_\mu$ . De este modo:

$\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + u^\alpha \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \vec e_\mu$

Realizamos un intercambio de índices ( $\ \mu$ por $\ \alpha$ ) en el último término del segundo miembro de la ecuación:

$\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu \vec e_\alpha$

Y obtenemos con ello los componentes de la derivada parcial covariante de la velocidad, que equivalen a la expresión entre paréntesis:

$\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu) \vec e_\alpha$ $\nabla_\beta u^a = \partial_\beta u^a + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu$

Generalizamos dichos componentes multiplicándolos por el componente $\ \beta$ de la tetravelocidad ( $\ u^\beta = \frac{du}{d \tau}$ ) y obtenemos con ello la derivada covariante de la velocidad:

$\frac{dx^\beta}{d \tau}\nabla_\beta u^a = \partial_\beta u^a \frac{dx^\beta}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu \frac{dx^\beta}{d \tau}$ $\nabla_\vec u u^a = \frac{du^\alpha}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta$

Puesto que para un observador inercial (p.e. un cuerpo en caída libre) $\nabla_\vec u u^a = 0$ , esta última ecuación toma la siguiente forma:

$0 = \frac{du^\alpha}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta$ $\frac{du^\alpha}{d \tau} = - \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta$

Estas fórmulas reciben el nombre de ecuación de las líneas geodésicas, y se utilizan para calcular la aceleración gravitatoria de cualquier cuerpo.

A los lectores poco introducidos puede chocarles la propia definición de los símbolos de Christoffel. A fin de cuentas, en el espacio euclideo, la derivada de una base (por ejemplo e_x) respecto a otra cordenada (pongamos y) es siempre cero, por la simple razón de que las bases de ambas coordenadas son ortogonales. Sin embargo, esto no sucede así en las variedades curvas, como por ejemplo las superficies de un cilindro o de una esfera: En tales casos, los símbolos de Christoffel no son iguales a cero, sino que son funciones de las derivadas del tensor métrico. La relación matemática entre estas dos magnitudes matemáticas se expresa mediante la siguiente ecuación:

$\ \Gamma^\alpha_{\beta\mu} = \frac{1}{2} g^{\alpha\sigma} (\partial_\mu g_{\sigma\beta} + \partial_\beta g_{\sigma\mu} - \partial_\sigma g_{\beta\mu})$

Los símbolos de Christoffel constituyen el parámetro principal que determina cuán grande es el grado de curvatura existente en una región determinada y con su ayuda podemos conocer cuál va a ser la trayectoria de una geodésica en un espacio curvo. En el caso de la variedad espacio-temporal, la Teoría de la Relatividad afirma que la curvatura viene originada por la presencia de tetramomentum y por ello, cuanta mayor sea la densidad de materia existente en una determinada región, mayores serán los valores de los símbolos de Christoffel.

La medición de la curvatura de cualquier variedad (ya se trate del espacio-tiempo, de una esfera o de una silla de montar) viene determinada por el tensor de curvatura o tensor de Riemann, que es una función de los símbolos de Christoffel y sus derivadas de primer orden.

El tensor de Riemann tiene una importancia fundamental a la hora de calcular la desviación de dos líneas en origen paralelas cuando se desplazan a través de una superficie curva. Es bien sabido que en una variedad llana las líneas paralelas jamás se cortan, pero sin embargo esta regla no rige en el caso de las superficies curvas de geometría elíptica. Supongamos que dos viajeros salen del Ecuador en dirección norte. En ambos casos, el ángulo que la trayectoria de su barco forma con el Ecuador es inicialmente de 90º, por lo que se trata de dos líneas paralelas. Sin embargo, conforme los viajeros se van desplazando hacia el norte, su distancia recíproca se hace cada vez más pequeña hasta que se hace nula en el Polo Norte, que es donde se cortan sus trayectorias de viaje. Para calcular la tasa de aproximación entre las dos geodésicas utilizamos la siguiente ecuación:

$d^2\xi^{\alpha} = R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}dx^{\beta} \xi^{\mu} dx^{\nu}$

donde $\ dx^{\beta}$ y $\ dx^{\mu}$ representan el recorrido desde el Ecuador de ambas líneas geodésicas y $\ \xi^{\mu}$ la distancia de separación entre ellas.

En el espacio-tiempo, que también es una variedad curva, las cosas funcionan de un modo parecido: el tensor de Riemann determina la aceleración recíproca entre las líneas de universo de dos sistemas inerciales (p.e. dos asteroides que se acercan progresivamente como consecuencia de su mutua atracción gravitatoria). Para calcular dicha aceleración, aplicamos de nuevo la conocida fórmula, modificándola ligeramente:

$\frac{d^2\xi^{\alpha}}{d\tau^2} = R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}u^{\beta} \xi^{\mu} u^{\nu}$

donde dτ es un parámetro afín (el tiempo local) y u^β y u^μ son los vectores de cuadrivelocidad de ambos cuerpos que, según el esquema de Minkowski, equivalen geométricamente a campos vectoriales tangentes a ambas líneas de universo.

Todo esto nos conecta con lo que en física newtoniana se denominan fuerzas de marea, responsables de múltiples fenómenos astronómicos y cuya base teorética reposa en el planteamiento siguiente: Supongamos que una determinada nave espacial está cayendo a un agujero negro. Es evidente que la proa de la nave experimenta una fuerza gravitatoria más intensa que la popa, por el simple hecho de que la primera está más próxima que la segunda al horizonte de sucesos. Si la diferencia de aceleraciones entre la proa y la popa es lo suficientemente intensa, la nave puede llegar a distorsionarse y quebrarse definitivamente.

El gradiente gravitatorio es también responsable del ciclo de mareas: Las zonas de la tierra más cercanas a la Luna, experimentan una mayor atracción gravitatoria que las más lejanas a ella, lo que provoca que el agua del mar se acumule en aquellas áreas de la superficie terrestre que están alineadas con la Luna.

En relatividad general, la aceleración de marea viene originada por el tensor de Riemann. Hay una correspondencia casi natural entre las ecuaciones newtonianas y las relativistas. En efecto, la ecuación newtoniana utilizada para computar las fuerzas de marea es la siguiente:

aⁱ = Φ_,iiξⁱ

donde a es la aceleración de marea, Φ el potencial gravitatorio y ξ la distancia entre las dos partículas. Las fuerzas de marea vienen determinadas por las derivadas de segundo orden del potencial gravitatorio.

Desde el punto de vista relativista, las fuerzas de marea vienen determinadas por el tensor de Riemann y si la región del espacio tiene una escasa densidad de cuadrimomento y una distribución uniforme de la curvatura, los componentes aquél toman aproximadamente los valores siguientes:

$R^i_{0i0} \approx \Phi_{, ii}$

$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu} \approx 0$ para el resto de los índices.

De ahí que sea muy sencillo deducir la ecuación clásica a partir de la relativista:

$\frac{d^2\xi^{i}}{d\tau^2} = R^{i}_{0i0}u^{0} \xi^{i} u^{0} \to a^i = \Phi_{,ii}\xi^i$

Como se puede deducir de los párrafos anteriores, en relatividad general las fuerzas de marea están determinadas por el tensor de Riemann y las primeras derivadas de los símbolos de Christoffel. Si estas magnitudes tienen un valor no nulo, el diferencial de los símbolos de Christoffel provoca la dispersión de las geodésicas correspondientes a partículas de un fluido determinado.

$\ \partial \Gamma^\alpha_{\beta\mu} \not = 0$

$\ \frac{du^\alpha}{d\tau} = -\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}u^\mu u^\nu$

Las geodésicas (trayectorias inerciales en el espacio-tiempo) vienen determinadas por los valores de los símbolos de Christoffel. Si éstos son constantes, las partículas de un fluido se mueven uniformemente, a una misma velocidad y aceleración, y no se altera su distancia entre sí. Pero si los componentes de los símbolos de Christoffel varían a lo largo de una determinada región, ello conlleva la divergencia de las líneas de universo y la distorsión del fluido, en la medida en que cada una de sus partes constituyentes acelera distintamente.

Sin embargo, en la zona situada entre Marte y Júpiter, los tensores de Riemann correspondientes a las masas del Sol y de Júpiter generaron unas intensas fuerzas de marea que dispersaron las líneas de universo de los planetesimales allí situados, impidiendo que se agregaran entre sí para dar lugar a un cuerpo masivo. Los planetesimales permanecieran dispersos bajo la forma de un cinturón de asteroides. Este fenómeno que acaba de describirse no es exclusivo de nuestro Sistema Solar, sino que ha sido observado en multitud de sistemas exoplanetarios descubiertos desde principios de los años noventa hasta la actualidad, como los mostrados en las ilustraciones de esta sección.

Las fuerzas de marea también poseen cierta importancia en el desarrollo de otros fenómenos astronómicos como las supernovas de tipo II, deflagraciones cósmicas que suelen tener lugar en el marco de sistemas estelares dobles. En efecto, en los sitemas binarios es frecuente que una estrella masiva orbite alrededor de una enana blanca. Si el tamaño de la primera sobrepasa el límite de Roche, el tensor de Riemann $R^{i}_{0i0}$ generado por la masa de la enana blanca extrae material de las capas exteriores de su compañera y lo precipita sobre la enana blanca, en torno a la cual dicho material orbita formando un disco de acreción. El plasma queda sometido a enormes temperaturas que provocan la emisión de rayos X y la aparición de explosiones periódicas conocidas con el nombre de supernovas de tipo II.

Según la teoría de la gravitación universal, una masa esférica de gas reduce su volumen (como consecuencia de la atracción recíproca de sus moléculas) con una aceleración equivalente a $4G\pi \rho\;$ :

$\Delta V =4\pi G \rho\;$

Es evidente, que dicha ecuación no es compatible con la relatividad especial, por las razones reseñadas anteriormente:

El parámetro $\rho\,$ , que mide la densidad de masa, ha de ser sustituido por el tensor de energía-tensión $T^{\alpha \beta}\,$ , que permanece invariable ante las transformaciones de Lorentz y tiene en cuenta los efectos gravitatorios de la energía y la presión, y no sólo los de la masa.
Por otro lado, según la teoría de la relatividad general, los efectos gravitatorios no son causados por ningún tipo de “fuerza misteriosa” sino por la curvatura del espacio-tiempo.

En este sentido, cabe señalar que en un espacio-tiempo curvo la aceleración del volumen viene cuantificada por un objeto geométrico específico, el tensor de Ricci $R^{\alpha \beta}\,$ , que puede definirse como la aceleración coordenada del hipervolumen Π_β, normal al vector unitario $e_\beta\,$ . De este modo, el componente $R^{00}\,$ expresa la aceleración temporal del volumen tridimensional:

$\ R^{00} = \frac{d^2 \Pi_0}{d(x^0)^2} \quad \Rightarrow \quad R^{00} = \nabla^2 V$

La relación entre el tensor métrico y el tensor de Ricci se expresa a través de la llamada ecuación de flujo de Ricci, que tiene la forma siguiente:

$\part_t g_{\alpha\beta} = -2R_{\alpha\beta}\,$

Según esta ecuación, la existencia de valores positivos del tensor de Ricci implica la disminución a lo largo del tiempo de los coeficientes del tensor métrico, y como consecuencia de ello la disminución de los volúmenes en esa región de la variedad. Por el contrario, la presencia de valores negativos en el tensor de Ricci lleva consigo una expansión progresiva de las distancias, las superficies y los volúmenes.

Por todo lo dicho, los tensores de energía-momentum y de Ricci permitían expresar de manera tensorial y covariante la fórmula de Poisson, y de ahí que originalmente Einstein propusiera las siguientes ecuaciones de universo:

$\ R^{\alpha\beta} = \frac{4\pi G}{c^2} T^{\alpha\beta}$

En relatividad general, el tensor de Ricci tiene la particularidad de representar aquellos efectos gravitatorios originados por la presencia inmediata de cuadrimomento, que son con gran diferencia los más importantes a gran escala.

El tensor de Ricci rige, pues, la mayor parte de los procesos astrofísicos que tienen lugar a amplias escalas: constituye una medida de la contracción de nubes moleculares que dan lugar al nacimiento de estrellas y planetas; cuantifica el colapso de las grandes cuerpos estelares y su conversión en enanas blancas, estrellas de neutrones y agujeros negros; y proporciona una medida de la expansión del universo.

Del tensor de Ricci, particularmente de la forma que toma en los campos gravitatorios esféricos (como las estrellas estáticas), se deriva la llamada Ley de equilibrio hidrostático, que regula el equilibrio entre la presión del fluido estelar (que tiende a expandir el volumen de la estrella) y la curvatura gravitatoria (que lo contrae). Este equilibrio se mantiene prácticamente durante toda la vida de la estrella y sólo se rompe en dos ocasiones diferentes: 1) Cuando la estrella deviene en una gigante roja, en cuyo caso los efectos de la presión de radiación desbordan los del tensor de Ricci, y como resultado, el volumen de la estrella se expande hasta alcanzar una nueva situación de equilibrio. 2) Cuando la estrella agota su combustible. Se produce entonces un descenso en la presión del fluido, y la estrella, bien se transforma en una enana blanca, en una estrella de neutrones, o bien colapsa definitivamente convirtiéndose en un agujero negro.

Einstein tuvo pronto que modificar ligeramente sus ecuaciones de universo, pues estas no eran compatibles con la ley de la conservación de la energía. Esto constriñó a Einstein a modificar sus ecuaciones de Universo, que adquirieron su forma definitiva tras la publicación en 1915 del artículo Aplicación de la teoría de la relatividad general al campo gravitatorio:

$R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g^{\alpha \beta}R = \frac{8\pi G}{c^4} T^{\alpha \beta}$

Donde $R^{\alpha \beta}\,$ es el tensor de Ricci, $g^{\alpha \beta}\,$ el tensor métrico, $R\,$ el escalar de Ricci, $G\,$ la constante de gravitación universal y $T^{\alpha \beta}\,$ el tensor de energía-impulso. El miembro izquierdo de la ecuación recibe el nombre genérico de tensor de Einstein, se representa con la notación $G^{\alpha \beta}\,$ y satisface las mismas relaciones de conservación que el tensor de tensión-energía:

$\nabla_{\beta}G^{\alpha \beta} = \nabla_{\beta} \left( R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g^{\alpha \beta}R \right) = 0, \qquad \ G^{\alpha \beta} = kT^{\alpha \beta}$

Teniendo en cuenta que el escalar de curvatura R es proporcional a la traza del tensor de Einstein $G^\alpha_\alpha\,$ , las ecuaciones de universo de Einstein pueden reformularse de la manera siguiente:

$\ -R = G^\alpha_\alpha = \frac{8\pi G}{c^4}T$

$\ R_{\alpha \beta} = \frac{8\pi G}{c^4} \left( T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T \right)$

Desde el principio Einstein apreció que matemáticamente el miembro derecho de su ecuación de campo podía incluir un término proporcional al tensor métrico sin que se violara el principio de conservación de la energía. Aunque inicialmente no incluyó dicho término, ya que no parecía tener una interpretación física razonable; más tarde lo incluyó. Esto se debió a que en sus primeros intentos de encontrar soluciones exactas a las ecuaciones de campo consideró lo que hoy conocemos como modelo estacionario de Einstein. Einstein apreció que esa solución, explicaba adecuadamente los datos disponibles en su tiempo, y correspondía a un universo estático similar a los datos observados. Sin embargo, dicha solución era inestable matemáticamente lo cual no parecía corresponderse con la estabilidad física observable, y se dio cuenta de que con el término proporcional a la métrica la solución podía ser similar pero esta vez estable.

Por esa razón Einstein introdujo en sus ecuaciones un término proporcional al tensor métrico. Siendo la constante de proporcionalidad precisamente la constante cosmológica. El trabajo de varios científicos (FLRW): Alexander Friedman, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson y Arthur Geoffrey Walker, probó que existían soluciones estables no estacionarios sin el término proporcional a la constante cosmológica. Y aunque Einstein inicialmente había rechazado el trabajo de Friedman por describir un universo en expansión que no parecía ser descriptivamente adecuado a un universo que él creía estacionario, los datos del corrimiento al rojo del astrónomo Edwin Hubble sólo parecían explicables mediante un modelo de universo en expansión. Esto convenció a Einstein de que la solución FLRW era de hecho correcta y descriptivamente adecuada y por tanto la constante cosmológica innecesaria.

Recientemente la evidencia de la aceleración de la expansión del Universo han llevado a reintroducir la constante cosmológica diferente de cero como una de las posibles explicaciones del fenómeno.

Reseñar respecto a la constante cosmológica lo siguiente:

La constante cosmológica fue introducida inicialmente por Einstein para lograr un universo estático, que coincidía con la concepción del universo reinante en su tiempo. Sus ecuaciones originales no permitían un universo estático: la gravedad lleva a un universo inicialmente en equilibrio dinámico a contraerse. Sin embargo, después de desarrollar su solución estática, Edwin Hubble sugirió en 1929 que el universo parecía estar en expansión. Esto era perfectamente consistente con las soluciones a las ecuaciones originales, descubiertas por el matemático Friedman en 1922 y luego por el físico Georges Lemaître, quien, independientemente, encontró una solución similar en 1927.

Se sabe ahora que el universo estático encontrado por Einstein es inestable. A pesar de estar en equilibrio, cualquier pequeña perturbación lo haría implosionar o expandirse de nuevo.

Al contrario que el resto de la relatividad general, esta nueva constante no se justificaba para nada, y fue introducida exclusivamente con el fin de obtener el resultado que en la época se pensaba era el apropiado. Cuando se presentó la evidencia de la expansión de universo, Einstein llegó a declarar que la introducción de dicha constante fue el «peor error de su carrera». Sin embargo, permaneció como un problema de interés teórico y experimental.

Matemáticamente las ecuaciones de campo de Einstein son complicadas porque constituyen un sistema de 10 ecuaciones diferenciales no lineales independientes. La complejidad de dicho sistema de ecuaciones y las dificultades asociadas para plantear el problema como un problema de valor inicial bien definido, hicieron que durante mucho tiempo sólo se contara con un puñado de soluciones exactas caracterizadas por un alto grado de simetría. En la actualidad se conocen algunos centenares de soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein.

Históricamente la primera solución importante fue obtenida por Karl Schwarzschild en 1915, esta solución conocida posteriormente como métrica de Schwarzschild, representa el campo creado por un astro estático y con simetría esférica. Dicha solución constituye una muy buena aproximación al campo gravitatorio dentro del sistema solar, lo cual permitió someter a confirmación experimental la teoría general de la relatividad explicándose hechos previamente no explicados como el avance del perihelio de Mercurio y prediciendo nuevos hechos más tarde observados como la deflexión de los rayos de luz de un campo gravitatorio. Además las peculiaridades de esta solución condujeron al descubrimiento teórico de la posibilidad de los agujeros negros, y se abrió todo una nueva área de la cosmología relacionada con ellos. Lamentablemente el estudio del colapso gravitatorio y los agujeros negros condujo a la predicción de las singularidades espaciotemporales, deficiencia que revela que la teoría de la relatividad general es incompleta.

Algunas otras soluciones físicamente interesantes de las ecuaciones de Einstein son:

La métrica de Kerr que describe el campo gravitatorio de un astro en rotación. Esta solución bajo ciertas circunstancias también contiene un agujero negro de Kerr.
La métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, realmente es un conjunto paramétrico de soluciones asociadas a la teoría del Big Bang que es capaz de explicar la estructura del universo a gran escala y la expansión del mismo.
El universo de Gödel, que en su forma original no parece describrir un universo realista o parecido al nuestro, pero cuyas propiedades matemáticamente interesantes constituyeron un estímulo para buscar soluciones más generales de las ecuaciones para ver si ciertos fenómenos eran o no peculiares de las soluciones más sencillas. De hecho ya hemos dedicado un artículo entero a esta solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein, por la gran amistad de ambos genios y por las interesantísimas propiedades matemáticas de dicha solución.

Por otra parte, el espacio-tiempo empleado en la teoría especial de la relatividad, llamado espacio de Minkowski es en sí mismo una solución de las ecuaciones de campo de Einstein, que representa un espacio-tiempo vacío totalmente de materia.

Fuera de las soluciones exactas y a efectos comparativos con la teoría de campo gravitatorio también es interesante la aproximación para campos gravitatorios débiles y las soluciones en formadas de ondas gravitatorias.

Dado que para muchos sistemas físicos no resulta sencillo obtener las expresiones exactas de las soluciones de las ecuaciones de Einstein, los físicos teóricos han desarrollado aproximaciones bastante precisas empleando series de potencias. De entre ellas las más importantes funcionan en coordenadas armónicas y reciben los nombres de aproximación posnewtoniana y aproximación para campos gravitatorios débiles.

En virtud del principio de la covariancia general, ya examinado en secciones anteriores, es posible hacer funcionar a las ecuaciones de universo de Einstein en cualquier tipo de coordenadas, incluidas las armónicas, que son aquéllas en las que se cumple la relación $\Gamma^{\lambda} = g_{\alpha\beta}\Gamma^{\lambda}_{\alpha\beta} = 0$ (como, por ejemplo, en el caso de las coordenadas cartesianas). Se hace necesario en este punto distinguir con claridad entre los conceptos de planitud del espacio-tiempo y armonicidad de un sistema de coordenadas: en una espacio-tiempo de curvatura nula, como el espacio-tiempo de Minkowski, es posible utilizar coordenadas no-armónicas como las esféricas o las cilíndricas, sin que ello implique que el espacio se curve, ya que la curvatura es una cualidad instrínseca de cualquier variedad e independiente de nuestro sistema de referencia.

Para campos gravitatorios poco intensos, como los existentes en el espacio interestelar, es recomendable utilizar la llamada aproximación para campos débiles, que es, como veremos, muy similar en su estructura a la fórmula de Poisson newtoniana, si bien las diferencias con esta última son enormes.

La fórmula de Poisson afirma que el laplaciano del potencial gravitatorio Φ es igual 4Gπ:

$\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho \to \Phi (x,t) = \int_V \frac{G\rho (x',t)}{r}dV$

Esta fórmula plantea un grave inconveniente, y es que presupone el principio de acción a distancia: No tiene en cuenta el retardo en la medición del campo gravitatorio realizada por un determinado observador (pongamos, un observador en la tierra) situado a cierta distancia a la masa del cuerpo que genera dicho campo gravitatorio (p.e. el Sol, situado a 8 minutos luz de nuestro planeta).

De ahí que uno de los primeros intentos de compatibilizar la teoría de la Relatividad Especial y la Gravitación Universal consistiera en sustituir el laplaciano de la fórmula de Poisson por un d’Alembertiano, una de cuyas soluciones es, precisamente, un potencial retardado:

$\Box^2 \Phi = 4\pi G\rho \to \Phi (x,t) = \int_V \frac{G\rho (x',t-\frac{r}{c})}{r}dV$

Como vemos, el potencial gravitatorio medido por el observador en el tiempo t, es proporcional a la densidad de masa que tiene el cuerpo estelar observado en el tiempo t – r/c, donde c es la velocidad de la luz, r es la distancia entre el observador y el objeto y r/c es el retardo, es decir, el tiempo que la luz tarda en desplazarse desde la estrella en cuestión hasta el observador.

Ahora bien, la relatividad general es una teoría métrica de la gravedad, y explica los fenómenos gravitatorios en términos de perturbaciones de la métrica. Es conveniente, por tanto, introducir en nuestra ecuación el pseudotensor $\ h_{\alpha\beta}$ , que representa la desviación de los coeficientes del tensor métrico respecto a la métrica de Minkowski $\ \eta_{\alpha\beta}$ . Aplicando el límite newtoniano, en cuya virtud $\ g_{\alpha\beta}$ es igual a $\ 1 + 2\Phi$ , obtenemos el resultado siguiente:

$\ g_{\alpha\beta} = \eta_{\alpha\beta} + h_{\alpha\beta}$

$h_{\alpha\beta} = 2\Phi \to \Box^2 h_{\alpha\beta} = 8\pi G\rho$

$\ \Box^2 h_{\alpha\beta} = 16\pi G (T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T)$

Fórmula de Poisson	$\ \nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho$
Aproximación para campos débiles	$\ \Box^2 h_{\alpha\beta} = 16\pi G (T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T)$

A grandes rasgos, la sustitución del laplaciano $\nabla^2$ por el d’alembertiano $\Box^2$ viene exigida por la obligada eliminación del principio de acción a distancia; el empleo del pseudotensor $\ h_{\alpha\beta}$ en lugar del potencial $\ \Phi$ como elemento definitorio del campo gravitatorio es una consecuencia de la del carácter métrico de la teoría de la relatividad general; y finalmente, la eliminación, en el lado derecho de la ecuación, del parámetro $\ \rho$ y su sustitución por la expresión tensorial $T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T$ viene exigida por el principio de la covariancia general.

Sin embargo, en el análisis de la evolución de sistemas astronómicos como el solar o el formado por estrellas dobles o tripoles, la aproximación para campos débiles no es útil, ya que el uso de esta última se restringe a zonas del espacio-tiempo con poca densidad de tetramomentum. En estos casos es preferida la aproximación posnewtoniana que como su propio nombre indica prescinde del empleo de la compleja notación del cálculo tensorial y describe el movimiento de los cuerpos celestes utilizando los conceptos matemáticos que empleó el propio Newton a la hora describir las leyes de la mecánica y de la gravitación universal (vectores, gradientes, etc.).

En los siglos XVIII y XIX, astrónomos como Laplace y Le Verrier habían aplicado los postulados de la mecánica newtoniana al estudio de la evolución del Sistema Solar, obteniendo unos resultados muy fructuosos: La precisión de los cálculos astronómicos obtenidos había permitido incluso prever la existencia de un planeta hasta entonces nunca observado por los astrónomos, Neptuno. Por este motivo no es de extrañar que cuando la relatividad general obtuvo pleno reconocimiento, se desarrollase por parte de los astrofísicos una aproximación que siguiera en su estructura el modelo newtoniano y que fuese fácilmente aplicable tanto por los astrónomos como por los ordenadores.

De acuerdo con la teoría clásica de la gravitación, la aceleración de un cuerpo en caída libre es el gradiente negativo del potencial gravitatorio:

$a = -\nabla\phi$

Como ya se ha avanzado en secciones anteriores, esta fórmula presupone la asunción del principio newtoniano de acción a distancia, contrario a los postulados de la Relatividad Especial, y además no tiene en cuenta los efectos gravitatorios generados por la energía y por el momentum. La aproximación posnewtoniana soslaya estos inconvenientes introduciendo otros dos nuevos potenciales: el potencial $\ \psi$ , que constituye una aproximación en segundo grado del potencial $\ \phi$ y el potencial $\ \zeta$ , derivado de la presencia de momentum en el fluido.

POTENCIALES DE LA APROXIMACION POSTNEWTONIANA

Notación	Expresión Algebraica	Significado físico
$\ \phi$	$\ \phi = -\int\frac{G\rho}{r}dV$	Potencial newtoniano (densidad de masa)
$\ \psi$	$\ \psi = [\frac{1}{4\pi}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + G(E_k + E_p) + G(E_k)]$	Retardo del potencial newtoniano, densidad de energía
$\ \zeta$	$\ \zeta = -4G\int\frac{P}{r}dV$	Potencial derivado del momentum

Las ecuaciones de movimiento quedarían reformuladas de la siguiente forma:

$a = -\nabla(\phi +\frac{2\phi^2}{c^2} +\psi) - \frac{1}{c}\frac{\partial\zeta}{\partial t} + \frac{v}{c} \times (\nabla \times \zeta) + \frac{3}{c^2}v\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{4}{c^2}v(v\cdot\nabla)\phi -\frac{v^2}{c^2}\nabla\phi$

$\eta = -\nabla(\frac{2\phi^2}{c^2} +\psi) - \frac{1}{c}\frac{\partial\zeta}{\partial t} + \frac{v}{c} \times (\nabla \times \zeta) + \frac{3}{c^2}v\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{4}{c^2}v(v\cdot\nabla)\phi -\frac{v^2}{c^2}\nabla\phi$

$a = -\nabla\phi + \eta$

En cuanto a la transición de la relatividad especial a la relativada general, comentaremos lo siguiente:

La teoría de la relatividad especial presenta covariancia de Lorentz. Esto significa que tal como fue formulada las leyes de la física se escriben del mismo modo para dos observadores que sean inerciales. Einstein estimó, inspirado por el principio de equivalencia que era necesaria una teoría que se presentara de forma válida en un principio de covariancia generalizado, es decir, que las leyes de la física se escribieran de la misma forma para todos los posibles observadores fueron estos inerciales o no. Eso le llevó a buscar una teoría general de la relatividad. Además el hecho de que la propia teoría de la relatividad fuera incompatible con el principio de acción a distancia le hizo comprender que necesitaba además que esta teoría general incorporase una descripción adecuada del campo gravitatorio.

Hoy sabemos que Einstein consideraba que la teoría de la relatividad sólo era aplicable a sistemas de referencia inerciales, aunque Logunov ha probado en el marco de la teoría relativista de la gravitación que un observador, inercial o no, o cualquier otro que se mueva con velocidad uniforme respecto al primero, escribirá las leyes físicas de la misma forma, probando así que la relatividad especial de hecho es más general de lo que Einstein creyó en su momento. Además el trabajo de Logunov prueba que siempre que el espacio-tiempo sea plano puede establecerse para cada observador que existe un grupo decaparamétrico de transformaciones de coordenadas que generaliza las propiedades del grupo de Lorentz para observadores no inerciales.

El principio de geometrización y el principio de equivalencia fueron las piedras angulares en las que Einstein basó su búsqueda de una nueva teoría, tras haber fracasado en el intento de formular una teoría relativista de la gravitación a partir de un potencial gravitatorio. La teoría escalar de la gravitación de Nordström y la interpretación geométrica que extrajo de ella Adriaan Fokker (1914), el estudiante de doctorado de Hendrik Lorentz, llevaron a Einstein a poder relacionar el tensor de energía-impulso con la curvatura escalar de Ricci de un espacio-tiempo con métrica:

$g_{\alpha \beta} = \phi\eta_{\alpha\beta}\,$

que involucraba la métrica del espacio-tiempo plano y un campo escalar relacionado con el campo gravitatorio. La superación de las deficiencias de la teoría de la gravitación escalar de Nordström llevaron a Einstein a formular las ecuaciones correctas de campo.

Bien, con esto cerrramos los artículos referentes a la teoría de la relatividad (especial y general) Sinceramente, cada vez que leo o estudio a estos autores, no puedo sino asombrarme por cuánto una mente humana es capaz de crear obras maestras como estas teorías físicas tan avanzadas, que nos permiten, hoy en día, disfrutar de todos los avances tecnológicos a los que, estando tan habituados a ellos, minusvaloramos erróneamente en la mayoría de las ocasiones.

A la semana que viene más. Ya veremos de qué hablamos … 🙂

NASA Gravity Probe Confirms Two Einstein Predictions (science.slashdot.org)
Over 50 Years Later, NASA Probe Proves Two of Einstein’s Theories Correct (techland.time.com)
Stanford study backs Einstein’s relativity theory (sfgate.com)

Bibliografía

Hawking, Stephen; and Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press.
Misner, Thorne and Wheeler, Gravitation, Freeman, (1973)
Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press.
Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: principles and applications of the general theory of relativity, Wiley (1972).

4 thoughts on “Teoría de la relatividad: relatividad general”

Uno mas says:

August 19, 2017 at 12:48

La Física Global también predice la precesión anómala de la órbita de Mercurio como lo hizo Paul Gerber 20 años antes que Einstein. http://www.molwick.com/es/leyes-gravitacionales/177-mecanica-celeste-mercurio.html

1. stkilda says:
  
  August 19, 2017 at 13:37
  
  Gracias por tu comentario. Es cierto, tienes razón. Hay muchos “olvidados” en la Física moderna, como en otras tantas áreas técnicas. Einstein contribuyó con una nueva teoría que revolucionó (y lo sigue haciendo cien años después) nuestro concepto de universo y estoy convencido que utilizó estos trabajos “parciales”, como el aporte que has realizado, para sentar las bases de su teoría. Un saludo!
  
  1. Uno mas says:
    
    August 23, 2017 at 23:43
    
    Gracias por la confirmación. Quiero aclarar que la revolución la empezó Paul Gerber porque da las pistas de una nueva física que Einstein desvió hacia una visión equivocada a mi juicio. Conviene señalar que Mercurio fue uno de los puntos más importantes para aceptación de la TR y encima diciendo que era una nueva predicción cuando ni era nueva ni predicción sino explicación de algo que la Astronomía ya sabía.
  2. stkilda says:
    
    August 24, 2017 at 18:08
    
    Bueno, en este punto no coincidimos. Por aquella época la Física establecía que la luz como tal no se curva ante nada y mucho menos ante la gravedad de la que no se tenían más conceptos que los que Newton había establecido doscientos veintiocho años antes. La única forma de comprobar si la teoría de Einstein era correcta o no con la tecnología de la época era a través de la observación directa de un objeto. El problema venía que la luz directa del sol inhabilitaba cualquier observación por lo que lo único viable era realizar la observación durante un eclipse. Obviamente no se utilizó mercurio como planeta sino estrellas como nuestro sol. Se utilizaron los cálculos derivados de las ecuaciones de Einstein para aseverar, previamente a la observación en sí, dónde deberían estar situadas las estrellas respecto a su posición original. Los cálculos fueron exactos por lo que la teoría quedó confirmada y lo demás es historia. Puedes obtener referencias completas aquí: Cuando Einstein eclipsó a Newton