Teoría de la relatividad: relatividad especial


Hola de nuevo. En esta semana (y siguiente) volvemos al mundo de la física. Intentaremos explicar las teorías de la relatividad general y especial. Esta semana, nos encargaremos de la segunda.

Analizaremos las diferencias entre ambas, el por qué de cada una, qué pensó Einstein cuando las formuló, la alarma que produjeron entre la comunidad científica de su tiempo, como se comprobaron y se dieron por válidas (esto último sobre todo con la relatividad general, que fue todo un suceso en si mismo digno de mención)

Para empezar comentaremos que, básicamente, la teoría de la relatividad especial se obtiene de la observación que la velocidad de la luz en el vacío es igual para todos los sistemas de referencia inerciales y de sacar todas las consecuencias del principio de relatividad de Galileo, según el cual cualquier experiencia hecha en un sistema de referencia inercial se desarrollará de manera idéntica en cualquier otro sistema inercial.

Sin embargo, Einstein se dio cuenta que si quería aplicar esta teoría a todo el universo en si, comprobaba que no podía ser aplicada, ya que entraba un factor determinante dando mucha guerra (en eso no han cambiado las cosas), la gravedad. De forma que tuvo que pensar un poco más 🙂 y denotar una nueva teoría (la relavidad general) que fuera aplicable a todo el universo. En este caso demostró que la gravedad en si misma es la consecuencia de la curvatura del espacio – tiempo provocada por un objeto con masa, como una estrella o planeta. También demostró que la luz se curva al igual que el espacio tiempo, contraviniendo a su gran ídolo, Isaac Newton, y sentando las bases de la física moderna.

Bien, esta semana nos centraremos en la relatividad especial.

La teoría especial de la relatividad, también llamada teoría de la relatividad restringida, es una teoría física publicada en 1905 por Albert Einstein. Surge de la observación de que la velocidad de la luz en el vacío es igual en todos los sistemas de referencia inerciales y de sacar todas las consecuencias del principio de relatividad de Galileo, según el cual cualquier experiencia hecha en un sistema de referencia inercial se desarrollará de manera idéntica en cualquier otro sistema inercial.

Explicaremos brevemente qué es un sistema de referencia inercial y qué es un sistema de referencia no inercial.

En mecánica newtoniana, un sistema de referencia inercial es un sistema de referencia en el que las leyes del movimiento cumplen las leyes de Newton, y por tanto, la variación del momento lineal del sistema es igual a las fuerzas reales sobre el sistema. En un sistema no inercial en cambio sucede que:

\frac{d\mathbf{P}}{dt} - \mathbf{F}_{real} \ne \mathbf{0}

Por lo que la descripción newtoniana de un sistema no-inercial requiere la introducción de fuerzas ficticias o inerciales de tal manera que:

\frac{d\mathbf{P}}{dt} - \mathbf{F}_{real} - \mathbf{F}_{fict} = \mathbf{0}

Sin embargo, sabemos que la mecánica newtoniana y la mecánica relavista distan mucho de ser similares. De hecho, hay sistemas que, dependiendo de dónde les encuadremos, son inerciales o no inerciales.

En Teoría de la Relatividad Especial, un sistema de referencia es inercial cuando un observador en reposo respecto a ese sistema puede emplear unas coordenadas en las que la métrica del espacio-tiempo se expresa como:

 g = - c^2dt \otimes dt + dx \otimes dx +dy \otimes dy +dz \otimes dz

De hecho, un observador terrestre estaría encuadrado dentro del sistema de referencia no inercial en la mecánica relativista (principio de equivalencia) y en un sistema de referencia incercial dentro de la mecánica newtoniana.

En un sistema de referencia inercial relativista la ecuación del movimiento de una partícula puede expresarse como:

 m\frac{d^2 x^i}{d\tau^2} = \sum_j F_{real,j}^i

Donde \scriptstyle \tau es el tiempo propio y \scriptstyle (x^0,x^1,x^2,x^3)\ =\ (ct,x,y,z) las coordenadas espacio-temporales y las fuerzas que aparecen en el miembro de la derecha son fuerzas reales y por tanto están causadas por la interacción con el campo creado por otras partículas.

En cambio en un sistema de referencia no-inercial que use las coordenadas generalizadas no incerciales \scriptstyle (\bar{x}^0,\bar{x}^1,\bar{x}^2,\bar{x}^3) la ecuación del movimiento expresada en términos de los símbolos de Christoffel viene dada por la ecuación más compleja:

 m\frac{d^2\bar{x}^i}{d\tau^2} + m\Gamma_{jk}^i \frac{d\bar{x}^j}{d\tau}\frac{d\bar{x}^k}{d\tau}
= \sum_j \bar{F}_{real,j}^i

En donde se ha usado el convenio de sumación de Einstein sobre índices repetidos. A partir de la ecuación anterior tenemos que la resultante de las fuerzas ficticias en relatividad, que normalmente depende de las velocidades viene dadas por:

 \bar{F}_{fict}^i = -m\Gamma_{jk}^i \frac{d\bar{x}^j}{d\tau}\frac{d\bar{x}^k}{d\tau}

En la teoría general de la relatividad en principio no es posible encontrar sistemas de referencia inerciales en el sentido anterior, debido a que la curvatura del espacio-tiempo no es idénticamente nula. Sin embargo, siempre es posible anular en al menos un punto las fuerzas ficticias recurriendo a un sistema de coordenadas en el que los símbolos de Christoffel se anulen en el punto.

Bien, una vez explicado lo qué es y las diferencias entre un sistema de referencia inercial y otro no inercial, seguiremos con la relatividad especial.

La teoría especial de la relatividad estableció nuevas ecuaciones que permitían pasar de un sistema de referencia inercial a otro. Las ecuaciones correspondientes conducen a fenómenos que chocan con el sentido común, siendo uno de los más asombrosos y más famosos la llamada paradoja de los gemelos.

La relatividad especial tuvo también un impacto en la filosofía, eliminando toda posibilidad de existencia de un tiempo y de un espacio absoluto en el conjunto del universo.

En cuanto a la historia en si misma, a finales del siglo XIX los físicos pensaban que la mecánica clásica de Newton, basada en la llamada relatividad de Galileo (origen de las ecuaciones matemáticas conocidas como transformaciones de Galileo), describía los conceptos de velocidad y fuerza para todos los observadores (o sistemas de referencia). Sin embargo, Hendrik Lorentz y otros habían comprobado que las ecuaciones de Maxwell, que gobiernan el electromagnetismo, no se comportaban de acuerdo a las leyes de Newton cuando el sistema de referencia varía (por ejemplo, cuando se considera el mismo problema físico desde el punto de vista de dos observadores que se mueven uno respecto del otro). El experimento de Michelson y Morley sirvió para confirmar que la velocidad de la luz permanecía constante, independientemente del sistema de referencia en el cual se medía, contrariamente a lo esperado de aplicar las transformaciones de Galileo.

En 1905 un desconocido físico alemán publicó un artículo que cambió radicalmente la percepción del espacio y el tiempo que se tenía en ese entonces. En su Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Albert Einstein revolucionó al mundo al postular lo que ahora conocemos como Teoría de la Relatividad Especial. Esta teoría se basaba en el Principio de relatividad y en la constancia de la velocidad de la luz en cualquier sistema de referencia inercial. De ello Einstein dedujo las ecuaciones de Lorentz. También reescribió las relaciones del momento y de la energía cinética para que éstas también se mantuvieran invariantes.

La teoría permitió establecer la equivalencia entre masa y energía y una nueva definición del espacio-tiempo. De ella se derivaron predicciones y surgieron curiosidades. Como ejemplos, un observador atribuye a un cuerpo en movimiento una longitud más corta que la que tiene el cuerpo en reposo y la duración de los eventos que afecten al cuerpo en movimiento son más largos con respecto al mismo evento medido por un observador en el sistema de referencia del cuerpo en reposo.

En 1912, Wilhelm Wien, premio Nobel de Física de 1911, propuso a Lorentz y a Einstein para este galardón por la teoría de la relatividad, expresando:

Aunque Lorentz debe ser considerado como el primero en encontrar la expresión matemática del principio de la relatividad, Einstein consiguió reducirlo desde un principio simple. Debemos pues considerar el mérito de los dos investigadores como comparable.

Einstein no recibió el premio Nobel por la relatividad especial pues el comité, en principio, no otorgaba el premio a teorías puras. El Nobel no llegó hasta 1921, y fue por su trabajo sobre el efecto fotoeléctrico.

Existen dos postulados de la relatividad especial. El principio especial de relatividad y la invariancia de la velocidad de la luz (c). El primero establece que Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. En otras palabras, no existe un sistema inercial de referencia privilegiado, que se pueda considerar como absoluto. El segundo enuncia que la velocidad de la luz en el vacío es una constante universal, c, que es independiente del movimiento de la fuente de luz.

En esta figura  vemos un modelo a escala de la tierra y la luna, con un rayo de luz viajando entre ellas a la velocidad de la luz. Se necesitan +/- 1,26 segundos para cubrir esta distancia .

El poder del argumento de Einstein está en la manera como deriva en resultados sorprendentes y plausibles a partir de dos simples hipótesis y como estas predicciones fueron confirmadas por las observaciones experimentales.

La teoría de la relatividad especial además busca formular todas las leyes físicas de forma que tengan validez para todos los observadores inerciales. Por lo que cualquier ley física debería tener una forma matemática invariante bajo unas transformaciones de Lorentz.

Como hemos mencionado, los físicos de la época habían encontrado una inconsistencia entre la completa descripción del electromagnetismo realizada por Maxwell y la mecánica clásica. Para ellos, la luz era una onda electromagnética transversal que se movía por un sistema de referencia privilegiado, al cual lo denominaban éter.

Hendrik Antoon Lorentz trabajó en resolver este problema y fue desarrollando unas transformaciones para las cuales las ecuaciones de Maxwell quedaban invariantes y sin necesidad de utilizar ese hipotético éter. La propuesta de Lorentz de 1899, conocida como la Teoría electrónica de Lorentz, no excluía —sin embargo— al éter. En la misma, Lorentz proponía que la interacción eléctrica entre dos cuerpos cargados se realizaba por medio de unos corpúsculos a los que llamaba electrones y que se encontraban adheridos a la masa en cada uno de los cuerpos. Estos electrones interactuaban entre sí mediante el éter, el cual era contraído por los electrones acorde a transformaciones específicas, mientras estos se encontraban en movimiento relativo al mismo. Estas transformaciones se las conoce ahora como transformaciones de Lorentz. La formulación actual fue trabajo de Poincaré, el cual las presentó de una manera más consistente en 1905.

Se tiene un sistema S de coordenadas (x, y, z, t)\, y un sistema S’ de coordenadas (x', y', z', t')\,, de aquí las ecuaciones que describen la transformación de un sistema a otro son:

t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right),     x' = \gamma (x - v t)\,,     y' = y\,,     z' = z\,

donde \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} es el llamado factor de Lorentz y c\, es la velocidad de la luz en el vacío.

Contrario a nuestro conocimiento actual, en aquel momento esto era una completa revolución, debido a que se planteaba una ecuación para transformar al tiempo, cosa que para la época era imposible. En la mecánica clásica, el tiempo era un invariante. Y para que las mismas leyes se puedan aplicar en cualquier sistema de referencia se obtiene otro tipo de invariante a grandes velocidades (ahora llamadas relativistas), la velocidad de la luz.

Directamente de los postulados expuestos arriba, y por supuesto de las transformaciones de Lorentz, se deduce el hecho de que no se puede decir con sentido absoluto que dos acontecimientos hayan ocurrido al mismo tiempo en diferentes lugares. Si dos sucesos ocurren simultáneamente en lugares separados espacialmente desde el punto de vista de un observador, cualquier otro observador inercial que se mueva respecto al primero los presencia en instantes distintos.

Matemáticamente, esto puede comprobarse en la primera ecuación de las transformaciones de Lorentz:

\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^{2}} \right)

Dos eventos simultáneos verifican \displaystyle\Delta t=0, pero si sucedieron en lugares distintos (con \Delta x\neq 0), otro observador con movimiento relativo obtiene \Delta t'\neq 0. Sólo en el caso \displaystyle\Delta t=0 y \displaystyle\Delta x=0 (sucesos simutáneos en en el mismo punto) no ocurre esto.

El concepto de simultaneidad puede definirse como sigue. Dados dos eventos puntuales E1 y E2, que ocurre respectivamente en instantes de tiempo t1 y t2, y en puntos del espacio P1 = (x1, y1, z1) y P2 = (x2, y2, z2), todas las teorías físicas admiten que estos sólo pueden darse una, de tres posibilidades mutuamente excluyentes:

  1. Es posible para un observador estar presente en el evento E1 y luego estar en el evento E2, y en ese caso se afirma que E1 es un evento anterior a E2. Además si eso sucede no puede existir otro observador que verifique 2.
  2. Es posible para un observador estar presente en el evento E2 y luego estar en el evento E1, y en ese caso se afirma que E1 es un evento posterior a E2. Además si eso sucede no puede existir otro observador que verifique 1.
  3. Es imposible para algún observador puntual, estar presente simultáneamente en los eventos E1 y E2.

Dado un evento cualquiera, el conjunto de eventos puede dividirse según esas tres categorías anteriores. Es decir, todas las teorías físicas permiten fijado un evento, clasificar a los demás eventos: en (1) pasado, (2) futuro y (3) resto de eventos (ni pasados ni futuros). En mecánica clásica esta última categoría está formada por los sucesos llamados simultáneos, y en mecánica relativista eventos no relacionados causalmente con el primer evento. Sin embargo, la mecánica clásica y la mecánica relativista difieren en el modo concreto en que esa división entre pasado, futuro y otros puede hacerse y en si dicho carácter es absoluto o relativo de dicha partición.

Como se dijo previamente, el tiempo en esta teoría deja de ser absoluto como se proponía en la mecánica clásica. O sea, el tiempo para todos los observadores del fenómeno deja de ser el mismo. Si tenemos un observador inmóvil haciendo una medición del tiempo de un acontecimiento y otro que se mueva a velocidades relativistas, los dos relojes no tendrán la misma medición de tiempo.

Mediante la transformación de Lorentz nuevamente llegamos a comprobar esto. Se coloca un reloj ligado al sistema S y otro al S’, lo que nos indica que x = 0. Se tiene las transformaciones y sus inversas en términos de la diferencia de coordenadas:

\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^{2}} \right)

\Delta x' = \gamma (\Delta x - v \Delta t)\,
y
\Delta t = \gamma \left(\Delta t' + \frac{v \Delta x'}{c^{2}} \right)
\Delta x = \gamma (\Delta x' + v \Delta t')\,

Si despejamos las primeras ecuaciones obtenemos:

\Delta t' = \gamma \Delta t \qquad ( \, para sucesos que satisfagan \Delta x = 0 )\,

De lo que obtenemos que los eventos que se realicen en el sistema en movimiento S’ serán más largos que los del S. La relación entre ambos es esa γ. Este fenómeno se lo conoce como dilatación del tiempo.

Si se dice que el tiempo varía a velocidades relativistas, la longitud también lo hace. Un ejemplo sería si tenemos a dos observadores inicialmente inmóviles, éstos miden un vehículo en el cual solo uno de ellos “viajará” a grandes velocidades, ambos obtendrán el mismo resultado. Uno de ellos entra al vehículo y cuando adquiera la suficiente velocidad mide el vehículo obteniendo el resultado esperado, pero si el que esta inmóvil lo vuelve a medir, obtendrá un valor menor. Esto se debe a que la longitud también se contrae.

Volviendo a las ecuaciones de Lorentz, despejando ahora a x y condicionando a \ \Delta t' = 0 se obtiene:

\Delta x' = \frac{\Delta x}{\gamma} \qquad \,

De lo cual podemos ver que existirá una disminución debido al cociente. Estos efectos solo pueden verse a grandes velocidades, por lo que en nuestra vida cotidiana las conclusiones obtenidas a partir de estos cálculos no tienen mucho sentido.

Un buen ejemplo de estas contracciones y dilataciones fue propuesto por Einstein en su paradoja de los gemelos.

La composición de velocidades es el cambio en la velocidad de un cuerpo al ser medida en diferentes sistemas de referencia inerciales. En la física pre-relativista se calculaba mediante:

\displaystyle v' = v + u\ ,

donde v′ es la velocidad del cuerpo con respecto al sistema S′, u la velocidad con la que este sistema se aleja del sistema “en reposo” S, y v es la velocidad del cuerpo medida en S.

Sin embargo, debido a las modificaciones del espacio y el tiempo, esta relación no es válida en Relatividad Especial. Mediante las transformadas de Lorentz puede obtenerse la fórmula correcta:

v' = \frac {v + u}{1 + \frac{u\cdot v}{c^2}}

Al observar con cuidado esta fórmula se nota que si tomamos para el cuerpo una velocidad en el sistema S igual a la de la luz (el caso de un fotón, por ejemplo), su velocidad en S′ sigue siendo v′=c, como se espera debido al segundo postulado. Además, si las velocidades son muy pequeñas en comparación con la luz, se obtiene que esta fórmula se aproxima a la anterior dada por Galileo.

La relatividad especial postula una ecuación para la energía, la cual inexplicablemente llegó a ser la ecuación más famosa del planeta, E=mc2. A esta ecuación también se la conoce como la equivalencia entre masa y energía.

En la relatividad, la energía y el momento de una partícula están relacionados mediante la ecuación:

\ E^{2} - p^{2}c^{2} = m^{2}c^{4}

Esta relación de energía-momento formulada en la relatividad nos permite observar la independencia del observador tanto de la energía como de la cantidad de momento. Para velocidades no relativistas, la energía puede ser aproximada mediante una expansión de una serie de Taylor así:

\ E \approx mc^{2} + \frac {1}{2} mv^{2}

encontrando así la energía cinética de la mecánica de Newton. Lo que nos indica que esa mecánica no era más que un caso particular de la actual relatividad. El primer término de esta aproximación es lo que se conoce como la energía en reposo (energía potencial), ésta es la cantidad de energía que puede medir un observador en reposo de acuerdo con lo postulado por Einstein. Esta energía en reposo no causaba conflicto con lo establecido anteriormente por Newton, porque ésta es constante y además persiste la energía en movimiento. Einstein lo describió de esta manera:

Bajo esta teoría, la masa ya no es una magnitud inalterable pero sí una magnitud dependiente de (y asimismo, idéntica con) la cantidad de energía.

En mecánica newtoniana la fuerza no relativista puede obtenerse simplemente como la derivada temporal del momento lineal:

\mathbf{F} = \frac {d\mathbf{p}}{dt}

Pero contrariamente postula la mecánica newtoniana, aquí el momento no es simplemente la masa en reposo por la velocidad. Por lo que la ecuación \mathbf{F} = m\mathbf{a} ya no es válida en relatividad. Si introducimos la definición correcta del momento lineal, usando la masa aparente relativista entonces obtenemos la expresión relativista correcta:

\mathbf{F} = \frac {d(M\mathbf{v})}{dt}
= \frac {dM}{dt}\mathbf{v} + M\frac {d\mathbf{v}}{dt} =
m\frac {d\gamma}{dt}\mathbf{v} + \gamma m\frac {d\mathbf{v}}{dt}

donde \ M es la masa relativista aparente. Calculando la fuerza anterior se observa el hecho que la fuerza podría no tener necesariamente la dirección de la aceleración, como se deduce desarrollando la ecuación anterior:

\mathbf{F} = \gamma m \mathbf{a} +
\gamma^3 m\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{c^2} \mathbf{v}

Introduciendo las aceleraciones normal y tangencial:

\mathbf{F} = \gamma^3 m a_t \mathbf{\hat{e}_t} +
\gamma m a_n \mathbf{\hat{e}_n}\quad \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} F_t\\ F_n \end{bmatrix} =
m \begin{bmatrix} \gamma^3 & 0\\ 0 & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_t\\ a_n \end{bmatrix}

Existen dos casos particulares de movimiento de una partícula donde la fuerza es siempre paralela a la aceleración, que son el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y el movimiento circular uniforme; en el primer caso el factor de proporcionalidad es \gamma^3 m\, y el en segundo \gamma m\,.

Previo a esta teoría, el concepto de causalidad estaba determinado: para una causa existe un efecto. Anteriormente, gracias a los postulados de Laplace, se creía que para todo acontecimiento se debía obtener un resultado que podía predecirse. La revolución en este concepto es que se “crea” un cono de luz de posibilidades:

Se observa este cono de luz y ahora un acontecimiento en el cono de luz del pasado no necesariamente nos conduce a un solo efecto en el cono de luz futuro. Desligando así la causa y el efecto. El observador que se sitúa en el vértice del cono ya no puede indicar qué causa del cono del pasado provocará el efecto en el cono del futuro.

Asumiendo el principio de causalidad obtenemos que ninguna partícula de masa positiva puede viajar más rápido que la luz. A pesar que este concepto no es tan claro para la relatividad general.

Pero no solo el principio de causalidad imposibilita el movimiento más rápido que el de la luz. Imagínese un cuerpo que experimenta una fuerza durante una cantidad infinita de tiempo. Tenemos entonces que:

F = \frac {dp}{dt}

donde dp es el diferencial de la cantidad de movimiento y dt el del tiempo. Sabemos que la cantidad de movimiento relativista presenta la ecuación  \, p = \gamma mV y mientras más esta cantidad de movimiento se acerca al infinito, V se acerca a c. Lo que para un observador inmóvil determinaría que la inercia del cuerpo estaría aumentando indefinidamente.

En el modelo estándar existen unas partículas aún teóricas que podrían viajar más rápido que la luz, los taquiones, aunque éstas siguen siendo aún hipotéticas.

Tenemos que comentar en este momento la formulación de la relativad especial que, a pesar de poder ser descrita con facilidad por medio de la mecánica clásica y ser de fácil entendimiento, tiene una compleja matemática de por medio. Aquí se describe a la relatividad especial en la forma de la covariancia de Lorentz. La posición de un evento en el espacio-tiempo está dado por un vector contravariante cuatridimensional, sus componentes son:

x^\nu = \left (t, x, y, z\right)

esto es que x0 = t, x1 = x, x2 = y y x3 = z. Los superíndices de esta sección describen contravarianza y no exponente a menos que sea un cuadrado o se diga lo contrario. Los superíndices son índices covariantes que tienen un rango de cero a tres como un gradiente del espacio tiempo del campo φ:

\partial_0 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial t}, \quad \partial_1 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad \partial_2 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial y}, \quad \partial_3 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial z}.

Habiendo reconocido la naturaleza cuatridimensional del espacio-tiempo, se puede empezar a emplear la métrica de Minkowski, η, dada en los componentes (válidos para cualquier sistema de referencia) así:

\eta_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix}
-c^2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \qquad, su recíproca es :\qquad \eta^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix}
-\frac{1}{c^2} & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Luego se reconoce que las transformaciones co-ordenadas entre los sistemas de referencia inerciales están dadas por el tensor de transformación de Lorentz Λ. Para el caso especial de movimiento a través del eje x, se tiene:

\Lambda^{\mu'}{}_\nu = \begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\
-\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

que es simplemente la matriz de un impulso (como una rotación) entre las coordenadas x y t. Donde μ’ indica la fila y ν la columna. También β y γ están definidos como:

\beta = \frac{v}{c},\qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}

Más generalmente, una transformación de un sistema inercial (ignorando la translación para simplificarlo) a otro debe satisfacer:

\eta_{\alpha\beta} = \eta_{\mu'\nu'} \Lambda^{\mu'}{}_\alpha \Lambda^{\nu'}{}_\beta \!

donde hay una sumatoria implícita de \mu' \! y \nu'\! de cero a tres en el lado derecho, de acuerdo con el convenio de sumación de Einstein. El grupo de Poincaré es el grupo más general de transformaciones que preservan la métrica de Minkowski y ésta es la simetría física subyacente a la relatividad especial.

Todas las propiedades físicas cuantitativas son dadas por tensores. Así para transformar de un sistema a otro, se usa la muy conocida ley de transformación tensorial:

T^{\left[i_1',i_2',...i_p'\right]}_{\left[j_1',j_2',...j_q'\right]} =
\Lambda^{i_1'}{}_{i_1}\Lambda^{i_2'}{}_{i_2}...\Lambda^{i_p'}{}_{i_p}
\Lambda_{j_1'}{}^{j_1}\Lambda_{j_2'}{}^{j_2}...\Lambda_{j_q'}{}^{j_q}
T^{\left[i_1,i_2,...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2,...j_q\right]}

donde \Lambda_{j_k'}{}^{j_k} \! es la matriz recíproca de \Lambda^{j_k'}{}_{j_k} \!.

Para observar como esto es útil, transformamos la posición de un evento de un sistema de coordenadas S a uno S’, se calcula:

\begin{pmatrix}
t'\\ x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = \Lambda^{\mu'}{}_\nu x^\nu = \begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\
-\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
t\\ x\\ y\\ z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\gamma t- \gamma\beta x/c\\ \gamma x - \beta\gamma ct \\ y\\ z
\end{pmatrix}

que son las transformaciones de Lorentz dadas anteriormente. Todas las transformaciones de tensores siguen la misma regla.

El cuadrado de la diferencia de la longitud de la posición del vector dx^\mu \! construido usando:

\mathbf{dx}^2 = \eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = -(c \cdot dt)^2+ (dx)^2 +(dy)^2 + (dz)^2 \,

es un invariante. Ser invariante significa que toma el mismo valor en todos los sistemas inerciales porque es un escalar (tensor de rango 0), y así Λ no aparece en esta transformación trivial. Se nota que cuando el elemento línea \mathbf{dx}^2 es negativo d\tau = \sqrt{-\mathbf{dx}^2} / c es el diferencial del tiempo propio, mientras que cuando \mathbf{dx}^2 es positivo, \sqrt{\mathbf{dx}^2} es el diferencial de la distancia propia.

El principal valor de expresar las ecuaciones de la física en forma tensorial es que éstas son luego manifestaciones invariantes bajo los grupos de Poincaré, así que no tenemos que hacer cálculos tediosos o especiales para confirmar ese hecho. También al construir tales ecuaciones encontramos usualmente que ecuaciones previas que no tienen relación, de hecho, están conectadas cercanamente al ser parte de la misma ecuación tensorial.

Investigaciones teóricas en el electromagnetismo clásico indicaron el camino para descubrir la propagación de onda. Las ecuaciones generalizando los efectos electromagnéticos encontraron que la velocidad de propagación finita de los campos E y B requiere comportamientos claros en partículas cargadas. El estudio general de cargas en movimiento forma un potencial de Liénard-Wiechert, que es un paso a través de la relatividad especial.

La transformación de Lorentz del campo eléctrico de una carga en movimiento por un observador en reposo en un sistema de referencia resulta en la aparición de un término matemático comúnmente llamado campo magnético. Al contrario, el campo magnético generado por las cargas en movimiento desaparece y se convierte en un campo electrostático en un sistema de referencia móvil. Las ecuaciones de Maxwell son entonces simplemente ajustes empíricos a los efectos de la relatividad especial en un modelo clásico del universo. Como los campos eléctricos y magnéticos son dependientes de los sistemas de referencia y así entrelazados, en el así llamado campo electromagnético. La relatividad especial provee las reglas de transformación de cómo los campos electromagnéticos en un sistema inercial aparecen en otro sistema inercial.

Las ecuaciones de Maxwell en la forma tridimensional son de por sí consistentes con el contenido físico de la relatividad especial. Pero debemos reescribirlas para hacerlas invariantes.[6]

La densidad de carga \rho \! y la densidad de corriente [J_x,J_y, J_z] \! son unificadas en el concepto de vector cuatridimensional:

J^\mu = \begin{pmatrix} \rho \\ J_x \\ J_y \\ J_z \end{pmatrix}

La ley de conservación de la carga se vuelve:

\partial_\mu J^\mu = 0. \!

El campo eléctrico [E_x, E_y, E_z] \! y la inducción magnética [B_x, B_y, B_z] \! son ahora unificadas en un tensor de campo electromagnético (de rango 2, antisimétrico covariante):


F_{\mu\nu} =
\begin{pmatrix}
0     & -E_x & -E_y & -E_z \\
E_x & 0      & B_z   & -B_y    \\
E_y & -B_z    & 0      & B_x   \\
E_z & B_y   & -B_x    & 0
\end{pmatrix}

a densidad de la fuerza de Lorentz f_\mu \! ejercida en la materia por el campo electromagnético es:

f_\mu = F_{\mu\nu}J^\nu .\!

La ley de Faraday de inducción y la ley de Gauss para el magnetismo se combinan en la forma:

\partial_\lambda F_{\mu\nu}+ \partial _\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} = 0. \!

A pesar de que se ven muchas ecuaciones, éstas se pueden reducir a solo cuatro ecuaciones independientes. Usando la antisimetría del campo electromagnético se puede reducir a la identidad o redundar en todas las ecuaciones excepto las que λ, μ, ν = 1,2,3 o 2,3,0 o 3,0,1 o 0,1,2.

Dicho esto, debemos enunciar que obviamente el tratamiento de sistemas no inerciales en la teoría de la relatividad especial resulta más complicado que el de los sistemas inerciales.

Einstein y otros autores consideraron antes del desarrollo de la relatividad general casi exclusivamente sistemas de coordenadas relacionados por transformaciones de Lorentz, razón por la cual se piensa que esta teoría es sólo aplicable a sistemas inerciales.

Bueno, pues este artículo nos servirá para comprender y entender un poco más qué es la teoría de la relatividad especial, pero lo que no nos dice es lo increible de la historia, el por qué del factor del razonamiento. Como sabéis Einstein estuvo trabajando en Berna en una oficina de patentes. Lamentablemente su reputación en la universidad no era demasiado buena, de hecho era considerado un vago y una persona conflictiva. La mala relación que tuvo con los profesores durante sus años de estudiante contribuyó decididamente a que no pudiera encontrar trabajo como profesor. Ni siquiera a través de su padre (un personaje ligeramente significativo en la sociedad de la época) y sus ruegos a los decanos de las universidades se consiguió una plaza como docente (y mucho menos como investigador) El futuro de Einstein pintaba muy, muy negro. Gracias al trabajo en la oficina de patentes, donde debía desmenuzar cientos de propuestas de inventos y su formulación, pudo mejorar decididamene su método científico, lo que, unido al tiempo que le sobraba a diario (el mismo reconoció que en aquella época su trabajo no le suponía un reto intelectual si quiera medianamente interesante) le hizo reflexionar y pensar en lo que a él realmente le interesaba: sus artículos sobre la teoría de la relatividad y el efecto fotoeléctrico (actual base de la mecánica cuántica, donde Einstein confirmó la existencia de átomos, hecho que, en si mismo, era desconocido en la época) Bien, todo esto viene a que Einstein, subía diariamente a un autobús desde donde, en un momento dado del trayecto, giraba la cabeza y comprobaba como el objeto en moviento (autobús) se alejaba del objeto en reposo (reloj de la plaza central) Este hecho unido al pensamiento de Einstein imaginándose viajando subido en un rayo de luz dio lugar a los acontecimientos científicos más importantes y fundamentales del siglo XX (y de lo que llevamos del siglo XXI)

De hecho Einstein en 1905 finalizó su doctorado presentando una tesis titulada Una nueva determinación de las dimensiones moleculares. Ese mismo año escribió cuatro artículos fundamentales sobre la física de pequeña y gran escala. En ellos explicaba el movimiento browniano, el efecto fotoeléctrico y desarrollaba la relatividad especial y la equivalencia masa-energía. El trabajo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico le proporcionaría el Premio Nobel de física en 1921. Estos artículos fueron enviados a la revista “Annalen der Physik” y son conocidos generalmente como los artículos del “Annus Mirabilis” (del Latín: Año extraordinario). La Unión internacional de física pura y aplicada junto con la Unesco conmemoraron 2005 como el Año mundial de la física, celebrando el centenario de publicación de estos trabajos.

Bueno, pues aquí os dejo este artículo hecho con la esperanza que todos podamos haber comprendido un poco más a Albert Einstein y su teoría de la relatividad especial. A la semana que viene publicaremos un segundo artículo dedicado a la relativad general.

A continuación figura la bibliografía y referencias utilizadas para la elaboración de este artículo.

  • Alemañ Berenguer, Rafael Andrés (2004). Relatividad para todos.
  • Alemañ Berenguer, Rafael Andrés (2005). Física para todos.
  • Bertrand Russell, El ABC de la relatividad, 1925.

Zur Elektrodynamik bewegter Körper» (en alemán, PDF). Annalen der Physik (Berna) 17:  pp. pp. 891-921. 1905.

Pais, Abraham (1984). El señor es sutil…: la ciencia y la vida de Albert Einstein. Barcelona : Ariel.

Robert M. Wald, General Relativity, p. 4

Albert Einstein (1927). «Isaac Newton» . Smithsonian Annual Report.  NOVA.

E. J. Post (1962). Formal Structure of Electromagnetics: General Covariance and Electromagnetics. Dover Publications Inc.

A. A. Logunov (1998). Curso de Teoría de la Relatividad y de la gravitación. Moscú: Universidad Estatal de Lomonósov.

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