Euler. Tres siglos después.


Leonhard Euler (1707–83), one of the most prom...
Image via Wikipedia

Hola de nuevo. Esta semana nos centramos en las mates en general y, concretamente, con Euler en particular. Uno de los genios más grandes de la historia, autor muy prolífico, que nos ha dejado joyas dentro de la matemática moderna (estamos hablando de alguien que murió en 1783)

Este post estará en forma de pequeñas notas repasando la vida y obra de Euler.

El texto original pertenece a Diego Pareja Heredia, de la Universidad de Quindío, Armenia, Colombia.

Leonhard Euler es un matemático cuya vigencia no parece tener límite. Gauss recomendaba a sus discípulos leer a los maestros, y nombraba al matemático suizo como uno de los más grandes. En 2007 se celebraron una larga serie de elementos conmemorativos por Europa y América, que buscaron destacar la enorme importancia de las contribuciones de Euler (por cierto, se pronuncia Oiler)  a las matemáticas y las ciencias.

 Como el siglo de las luces, el siglo de la razón o el siglo del iluminismo o de la ilustración se conoce al siglo XVIII. Destacarse como el matemático más grande de este siglo, no contribuye sino a acrecentar la gigantesca imagen de Euler. Turgot, “contralor” general de Luis XVI, le calificaba como el “famoso Leonhard Euler” en 1774, cuando el matemático de sesenta y siete años y ya ciego, estaba en el pináculo de su inagotable producción matemática. Tanto escribió de matemáticas y ciencia, que la Academia de Ciencias de San Petersburgo tuvo material para seguir publicando su obra inédita, incluso cincuenta años después de su muerte. Hasta hace pocos años se seguía publicando su Opera Omnia, formada por más de ochenta volúmenes!!! En 1910, su número de publicaciones llegó a 866, incluyendo veinticinco volúmenes dedicados a áreas tan específicas como el álgebra y análisis, pasando por geometría, teoría de números, mecánica y óptica, hasta llegar a la filosofía y a la música. Cabe destacar que el famoso premio Bordin de la Academia de Ciencias de París, le fue otorgado a Euler … en doce ocasiones!!!

Las matemáticas se enriquecieron por las contribuciones de Euler, no solo por sus contenidos, sino también por su metodología y presentación. Con pequeñas diferencias, los textos que Euler escribió, tienen la presentación en los libros que hoy vemos y donde aprendemos cálculo, ecuaciones diferenciales o inclusive álgebra. Mucho de esto se debe a que Euler introdujo una simbología que pasó a ser estándar en las matemáticas, como por ejemplo:

la constante de Euler, e (de Euler) para designar la base de los logaritmos naturales, i para designar la unidad imaginaria, f(x) para denotar una función, sin (x), cos (x) y tag (x2), para las funciones trigonométricas de seno, coseno y tangente, ∆ para el incremento de una función y ∑ para denotar suma, entro otros muchos símbolos y denominaciones, que se usan en la literatura metemática actual.

En Euler tenemos suficiente motivación para emprender cualquier aventura matemática, tanto en las matemáticas elementalales ligadas a la teoría de números, como en las matemáticas avanzadas en conexión con el análisis matemática o la topología, por ejemplo. En teoría de números encontramos fascinantes relaciones descubiertas por Euler. Para citar solo dos empecemos con la ley de reciprocidad cuadrática que relaciona la solución de congruencias cuadráticas con números primos. Este aspecto de la teoría de números la culmina Gauss en su famosa Disquisitiones Arithmeticae. En el análisis matemático, las funciones beta, gama y zeta tienen su origen en trabajos de Euler. Posteriormente, ellas darían pie a trabajos profundos. Este es el caso de la función zeta, estudiada después por Riemann, quien conjeturó que todos los ceros no triviales de esta función en el plano complejo caen  en la recta crítica x=1/2 (ya hemos hablado de la Hipótesis de Riemann … ánimo que tenemos un millón de dólares esperando 🙂 )

Euler tenía un estilo de trabajo poco cercano a los estándares actuales, lo que le permitió deambular líbremente por senderos donde la intuición y la imaginación forman un telón de fondo que propicia métodos no convencionales de aproximación a problemas muy profundos. Un ejemplo, digno de mención en su acercamiento a la función zeta a través de una igualdad, que para los cánones actuales no tiene sentido:

 donde p, en el producto de la derecha, recorre el conjunto de todos los números primos (p; p= 2, 3, 5 …) Tanto la serie como el producto divergen, y así … ¿cómo pueden ser iguales dos cosas que van a infinito? La serie armónica de la izquierda sería el valor de la función zeta de Riemann:

 en s = 1. Al producto de la derecha llega Euler, al interpretar la serie como un polinomio “de grado infinito” que podría factorizarse en términos de sus raíces:

Ilustrativo  de esta manipulación formal eulerania es también el caso de la función 1 – sen x, que expresada como polinomio infinito e igualando los coeficientes de x que resultan en el producto dado arriba, encuentra que:

valor que previamente había encontrado LEIBNIZ, aunque por diferente camino.

Aún hoy, 228 años después de su muerte, seguimos hablando de sus sorprendentes resultados y recorriendo los caminos abiertos por él en busca de nuevas aventuras y nuevos enfoques matemáticos.

Personalmente, con el permiso del autor,  si hubiera un top 10 en cuanto a éxitos matemáticos de Euler se refiere, lo encabezaría de la siguiente forma:

Mucho hay que ver y comentar sobre la obra de Euler, para de esta forma, y así darnos cuenta de cuánto más podemos aprender de este prolífico matemático.

Sirva este humilde post para hacer un homenaje a este magnífico personaje de la ciencia, que ha contribuido decididamente al avance y a la divulgación del conocimiento humano.

Nos vemos a la semana que viene. Volveremos a la física. Sed buenos.

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